y=îf ^x — 6j

£n éliminant x par substitution, on a d'abord

puis

4 — - — 6y=^2 ou 4 *^ ' ^y — ï 2^ = 4>

c'est-à-dire oXj = o, équation identique. Le système proposé se réduit ainsi à la seule équation

X = - ou 2X — ôjr=l.

ALGEBRE ÉLÉMEIf TAIRE. 39$

On peut, par conséquent, donner à l'une des inconnues toutes les valeurs qu'on voudra, et en déduire les valeurs correspondantes de l'autre inconnue (93).

Nous généraliserons les notions précédentes, en discutant les formules générales de résolution d'un système de deux équations du premier degré à deux inconnues.

Résolntion d'un nombre quelconque d'équations du premier degré.

128. Nous supposons le nombre des équations égal au nombre des inconnues.

Soient, pour fixer les idées, six équations à six inconnues X, y, z. M, V, t.

On élimine Tune des inconnues» x par exemple, entre la première équation et chacune des cinq suivantes, en employant l'une des deux méthodes générales que nous venons de développer relativement à un système de deux équations à deux inconnues. On obtient ainsi, d'après les théorèmes 1 et II (122, 123), un système équivalent au système proposé. Ce système équivalent est formé de six équations, l'une contenant toutes les inconnues et qu'on réserve pour la détermination de Xy les cinq autres ne contenant plus que les cinq inconnues^", z, m, c, /.

On a donc, en réalité, remplacé le système donné par un système contenant une équation et une inconnue de moins.

Pour résoudre ce nouveau système, on élimine de même l'inconnue j, par exemple, entre la première équation et chacune des- quatre autres. Le système équivalent au précédent qu'on obtient ainsi est formé de cinq équations, l'une contenant les cinq inconnues et qu'on réserve pour la détermination dej, les quatre autres ne contenant plus que les quatre inconnues z, u^ v, /. On a, par suite, remplacé en réalité le second système consi iéré par un troisième système contenant encore une équation et une inconnue de moins.

Chaque nouvelle élimination diminue ainsi la difficulté, et l'on arrive forcément, en continuant de la même manière, à un cinquième système de deux équations à deux inconnues et à un sixième système ne contenant plus qu'une équation à une inconnue.

Le système proposé se trouve alors remplacé par un système

396 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHE.

équivalent composé de six équations : la première renferme les six inconnues du problème, les suîvanies chacune une inconnue de moins, de sorle que la sixième n'en renferme plus qu'une seule t dont elle donne immédiatement la valeur. En substituant cette valeur de / dans l'équation précédente qui contient les inconnues / et v, on détermine v. En substituant les deux valeurs obtenues dans Téquation qui précède Tavantdernière et qui contient à la fois ty v et k, on détermine u. En continuant ainsi, on arrive à substituer dans la première équation les valeurs de ty v, w, z, ^ et à en déduire la valeur de la dernière inconnue x. On voit qu'il y a toujours en général un système de valeurs admissibles, mais qu'il est unique, puisque la dernière équation à une inconnue ne donne qu'une seule valeur pour cetie inconnue.

La résolution du système proposé dépendant finalement de la résolution de cette dernière équation, les remarques du n** 127 sont applicables à tout système de n équations contenant n inconnues.

Nous allons appliquer la solution générale indiquée à plusieurs exemples.

Applications.