a° Soit encore le système
a" 6'~ c Ix -h my -h nz=p.
On peut multiplier respectivement par /, //i, n les deux termes de cba-
«-+- ^H- rf —
a-^c-hd —
ib
b -^ c -hd —
cun des rapports-?'^} - • On a alors
Ix __ my nz
la mb ~~ ne
La somme des numérateurs de ces rapports divisée par la somme de leurs dénominateurs forme un rapport égal à chacun d'eux, puisqu'ils sont égaux. On a donc
Ix my ^^ l^^ ff^y -h nz la ~~ ma nc~~ la -h mb H- ne
Mais le numérateur Ix -h my -hnzesi égal à p d'après la dernière équation du système. On peut donc écrire successivement
la
■+- mb -♦- ne
bp
la
■+■ mb -H ne
cp
la -H mb -k- ne
138. Les conditions de symétrie permettent, dans certains cas, de dé«
duire de la valeur trouvée pour une. seule inconnue les valeurs de toutes les autres.
Soient les équations
Pour éviter les équations du second degré qu'on trouverait en chassant
les dénominateurs, on prend comme inconnues -9 -9 -• On ajoute les
deux premières équations membre à membre et l'on retranche membre
à membre Téquation résultante et la troisième équation donnée : on obtient
ainsi
-- = c ->r b — fl, X '
d*où
Supposons maintenant qu'on considère les trois lettres ri, 6, r, et les trois lettres or, j, z. Plaçons-les sur upe circonférence et aux sommets d'un p. , triangle équilatéral inscrit [fig, i). Si la cir-
conférence tourne autour de son centre, dans le sens indiqué, d'un tiers de quatre angles droits, la lettre a prendra la place de la lettre 6, la lettre b la place de la lettre r, la lettre c la place de la lettre a. De même x^ y^ z seront remplacées par z, x^ y. On dit alors que les trois lettres a^ b, c et les trois lettres x, /, z ont éprouvé une permutation circulaire.
Remarquons que, si, dans les équations données, on fait subir à la fois aux trois inconnues x^ y, z et aux trois lettres a, b^ c une permutation circulaire, la première équation se transforme en la deuxième, la deuxième en la troisième, la troisième en la première. Le système proposé reste donc le même, et il est toujours satisfait par les mêmes valeurs. Mais il est évident qu'en faisant subir les mêmes changements aux formules qui donnent X, /, 2, on a les valeurs qui satisfont au système transformé, c'estrà-dire au système donné, puisque ces deux systèmes sont identiques. On passe donc immédiatement de la valeur trouvée pour x à la valeur de 2, en remplaçant x par z, et en permutant circulairement les trois lettres a^ ù, c\ puis de la valeur de z à la valeur de y^ en remplaçant z par jr* et en faisant éprouver une nouvelle permutation circulaire aux trois lettres â, b, c, La permutation circulaire des lettres x,/, z existe d'une formule à Tautre; la permutation circulaire des lettres a, b^ c d, lieu dans chaque
4o4 àlgêbue élémentaire.
formule. On obtient ainsi immédiatement
Problèmes conduisant à plusieurs équations du premier degré , ' en nombre égal à celui des inconnues.
139. I. On a deux lingots d^ argent, Vun au titre de o,8!io, Vautre nu titre de 0,960; former à l'aide de ces deux lingots un ailiagc /}rsan 1 15 grammes et au titre de 0,870 [Arithm.y 4.35).
Désignons par x et j les nombres de grammes qu'il faut emprunter aux deux lingots pour avoir l'alliage voulu. On a immédiatement
