X -{-y — II
Exprimons que la quantité d'argent contenue dans Talliage est égale à la somme des quantités d'argent contenues dans les parties mélangées : on obtient comme seconde équation
On déduit de la première équation
La seconde devient alors
JT. 0,820 -f- (ii5 — j:). 0,950 =115.0,870, d'où
x(o,95o — 0,820) = ii5 (o,95o — 0,870),
.r.o,i3o = ii5. 0,080.
On en déduit
ii5.o,o8
et
j= ii5 — .r = 44»'',23i.
Ces valeurs vériGent les conditions du problème.
i40. II. Connaissant les poids spécifiques d et d' de deux substances et le poids spécifique D d'une de leurs combinaisons ou d^un de leurs mélanges, déterminer la proportion de chaque substance contenue dans un poids P de la combinaison ou du mélange considéré. On admet que lu combinaison s*opère sans variation de volume.
Désignons par or et / les poids des deux substances, et rappelons-nous que le volume est égal au quotient du poids par le poids spéciGque (Arithm.y 363). On a alors
La seconde équation exprime que la somme des volumes mélangés ou combinés est égale au volume du mélange ou de la combinaison. La première équation donne / = P — j?. La seconde équation devient
alors
d'où
c'est-à-dîro
d' — d^jd' — D)
^ dd' ~~ Dd'
En simplifiant et en changeant les signes dans les deux parenthèses, parce qu'on suppose dy> d' et, par suile, D > //', on a
Pour trouver ^, on peut remarquer que les équations considérées ne changent pas, lorsqu'on y remplace x par/ et/ par^r, r/par r/' et d' par d. En faisant subir les mêmes changements à la valeur de x (138], on trouve donc immédiatement
Vd'{D-d) Vd*(d-\))
y-'- \)-^d'—d) ~ \)\d-iV)'
On change les signes des deux parenthèses, parce que <i est à la fois plus grand que d' et plus grand que D.
On peut appliquer ces formules au problème de la couronne.
HiÉBON. roi de Syracuse, avait remis à un orfèvre une certaine quantité d'or, destinée à être transformée en couronne. La couronne achevée, il soupçonna l'orfèvre d'avoir remplacé une partie de l'or par un poids égal d'argent. Il consulta ârchihèdb, qui résolut le problème à l'aide du prin^ cipe dont on lui doit la découverte.
La couronne pesait 7465 gramme^. Le poids spécifique de l'or est 19,26 ; celui de l'argent 10,47; I^ poids spécifique de la couronne se trouva être égal à 16,98. Pour avoir la quantité d'argent introduite par l'orfèvre, il
4o6 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
suffît donc de faire dans la formule r -- -..-/-"',,. ,
On trouve /= 1825, à moins de 0,1. Ainsi Torfévre avait substitué 1825 grammes d'argent à un égal poids d*or.
141. III. La distance entre deux villes placées sur un chemin de fer est a. Un convoi part de la première ville pour la seconde avec une wtésse de v kilomètres par heure, h heures après y un convoi part delà seconde ville pour la première avec une vitesse de v' kilomètres par heure. On demande au bout de combien de temps et à quelle distance de la première ville le croisement des deux convois aura lieu.
Au point de rencontre^ la somme des chemins parcourus par les deux convois est égale à a. Si le chemin 'décrit par le premier convoi est désigné par jr, et si le chemin décrit par le second convoi est désigné par j, on a donc
Mais le chemin x a été parcouru dans un temps égal à - 9 Tunité de temps
choisie étant Theure. De même, le .chemin y a été parcouru dans un
temps-,- De plus, le premier convoi ayant une avance de h heures, la
différence des temps considérés doit être égale à A, d'où la seconde équation ^
Si l'on remplace^ par sa valeur a — x déduite de la première équation,
il vient
d'où
-r // «, v{n-^ v'/i) V X — av -h vx = vv h et -r = , — •
Le temps qui s'écoule entre le départ du premier convoi et la rencontre
. , . X . a -h v'h étdnt égal a - a pour expression ~ •
142. IV. La date de V invention de l'imprimerie par Guttemberg rp/iferme quatre chiffres. Le chiffre des dizaines est moitié de celui des unités^ le chiffre des mille est éf^al à l^ excès du chiffre des centaines sur celui des dizaines, la somme des quatre chiffres est égale à i^; et, si l'on augmente le nombre considéré de 49o5, on l'obtient renversé. Trouver la date dxmt il s 'agit.
ALGÈBRE éLÉMEKTTAlRE. 4^7
Si Ton désigne par les initiales des mots unités, dizaines, centaines, mille les chiffres correspondants, on a immédiatement, d'après l'énoncé, les trois équations
m = c — ei, u-h d -h-c -h m — 14.
La valeur du nombre cherché étant représentée par
u ■+- ior/-H 100 c -h 1000 ;w,
la valeur du nombre renversé est
looott -4- ioor/-f- loc-hm,
La dernière condition du problème a donc pour expression Téquation « -♦- lod -h 100 c -f- iooo/7i -f- 4905 = loooif -+• ioor/-4- loc -h m
En simplifiant cette équation, on trouve
iiitt H- \od — 10c — iii/w = 545.
En retranchant la deuxième équation de la troisième, on obtient
a-*-r/-hc = i4— cH-(af,
d'où
La première équation donne alors
2rf= « = 14 — a<?, d'où
On a donc
m-= c — d = c — 7-Hc,
d'où
On n'a plus qu'à substituer dans la quatrième équation les valeurs de u, d, nif exprimées en fonction de c. Il vient
ni (14 — ac) -4-10(7 — c) — loc — m (2c — 7) = 545,
c'est-à-dire
464c = i856 et c = — -- = 4.
Il en résulte ^ = 6, // = 3, m = 1 ; par suite, la date de Tinvention de rimprimerie est i436.
4o8 ALGÈBRE ÉLÉMEITTAIRK.
143. V. Trois ouvriers X, Y, Z exécutent un certain travail : X.ctY réunis le feraient en a jours, \ etZ en b jours , Y et Z en c jours. On demande combien il frudra de jours pour faire le travail ; i" « chaque ouvrier travaillant seul; 2** aux trois ouvriers réunis.
Désignons par x, y^ a les nombres de jours nécessaires à chaque ouvrier travHillant seul pour terminer l'ouvrage, et par i la totalité de l'ouvrage. X et Y font cet ouvrage en a jours; donc, en un jour, ils en font
une fraction représentée par-* Mais, en un jour, X fait une fraction de Touvrage représentée par -? puisqu'il fait l'ouvrage tout entier en 4: jours; de même, Y en fait en un jour une fraction -• On a donc
On trouve de môme
Regardons -9 -1 - comme les inconnues du problème; ajoutons les deux X y tt
premières équations membre à membre et retranchons la troisième de
leur somme. On obtient
d'où
I bc
-h ac —
ab
aOc
labc
ùc -ï- ne -
-ab'
Les considérations de symétrie déjà indiquées (138) prouvent qu'on passe do la valeur de j? à celle de /, en remplaçant x par y et en permutant circulairement les lettres âr, by c. Il vient
iafjc ab -^ bc — ac
On passe de la valeur de^ à celle de z de la môme manière, et l'on trouve
^ 'labc
'~ ab -h ac — bc
Les trois ouvriers réunis font, en un jour, une fraction de l'ouvrage représentée par - H H - • Ils font donc tout l'ouvrage en
