X -hy = 3/7 — z = 3« — V
ijo — ^y = a -^ ^z = a H-
liSa
ion "8''
4lO. ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Si l'on multiplie les deux membres de la première par 4, et si Ton ajoute ensuite membre à membre les deux équations, on trouve
8o/7 9,4 « 104^/ d'où
La première équation donne alors
jr :=z 3a — X — z = 3ri
Les trois valeurs cherchées sont donc
On peut facilement généraliser la question et trouver les formules qui correspondent au cas de n joueurs et de n parties, en employant immédiatement l'cqualion auxiliaire qui résulte de l'énoncé.
Nous Supposerons qu'après n parties, perdues successivement par cha-
<un d'eux dans l'ordre même des indices adoptés, les joueurs se retirent vcc des gommes données égales .à ^7,, «,, «3, .. ., a^. Il s'agit de trouver leurs mises respectives x,, j:,, x^, . , ., x^.
Cherchons directement la mise x^ du X^*^ joueur. Pendant les (k — 1) premières parties, il a vu son argent constamment doublé. II a donc, à la fin delà (X — i)'*"" partie,
D'ailleurs, la somme totale des mises, ou l'argent qui est au jeu et dont la répartition varie seule après chaque partie, est
I^s (/i -«• i) autres joueurs possèdent donc, à la fin delà (X- — i)**^ partie,
A — a*"'xj.
Le X'^"' joueur, en perdant la X-*'"" partie, débourse donc cette môme somme, de sorte qu'il lui reste à la fin de cette partie
2*~* Xj — (A — 2***' .r^ ) ou a* J"^ — A.
Le X^''"* joueur gagnant ensuite les (/i — X) parties restantes se retire du jeu avec
2""* { 2* jCj — A ) = ^"x^ — 2" ■* A.
D'après l'énoncé, cette somme doit être égale à a^. L'inconnue x^ est donc
ALGEBUE ÉLÉMENTAIRE. 4 ^ ^
déterminée par l'équation
On en déduit
Cette formule résout la question; on n'a qu'à y remplacer successivement A par les nombres i, 2, 3,..., /3, pour obtenir les mises des différents joueurs.
Cas où le nombre des équations considérées n'est pas égal
à celui des inconnues.
145. I. Il y a indéterminai ion, lorsque le nombre des équations est inférieur à c.eli4i des inconnues.
Supposons qu'on ait m équations ei m-hp inconnues. Il faudra considérer /? des inconnues comme données : on aura alors un système de m équations à m inconnues, qu'on résoudra comme nous Kavons indiqué; mais les m inconnues trouvées seront exprimées en fonction des p inconnues restantes. On pourra attribuer à ces p inconnues des valeurs arbitraires et, par suite, les équations proposées admettront une infinité de racines : elles formeront un système indéterminé.
Soient les équations
JC-^jr — 2 = 10,
Si l'on regarde z comme donnée, on a
x-i-^= 10 4- z, X ^jr= 24 — 5z.
Il en résulte (2)
X = ly — 2«,
jr=Sz-y,
On peut remplacer z dans ces formules par telles valeurs qu'on voudra et en déduire les valeurs correspondantes de x et de /.
l^'G. II. Lorsque le nombre des équations est supérieur à celui des inconnues, il faut certaines conditions pour que toutes les équations soient satisfaites par les mêmes valeurs
4 12 ALGÈBRE ÉLéMENTAIIlE.
des inconnues: Si ces conditions ne sont pas remplies, les équations données sont incompatibles.
Supposons qu'on ait m inconnues et m -4-/7 équations. On choisira m de ces équations renfermant les m inconnues de la manière la plus simple, et on les résoudra d'après les règles précédentes. On trouvera ainsi les valeurs des m inconnues; mais ces valeurs devront» en outre, satisfaire aux p équations restantes, pour qu'il n'y ait pas incompatibilité.
Si quelques-uns des coefficients des équations proposées sont indéterminés, on peut alors les calculer de manière â rendre les p équations restantes satisfaites par les valeurs obtenues pour les m inconnues. Ces p équations deviennent ainsi ce qu'on appelle des équations de condition.
Supposons qu on donne les six équations à trois inconnues :
x-h X +-2=9, 3x — r -f 2z = 10, 2j:-4- 7 j — 3z =J5, ax — b/ -h cz = 20, ax -\- bjr -^ cz = 44> \oax -^Zbf^ cz =26,
et qu'on demande quelles valeurs doivent recevoir les coefficients indéterminés a, b, c, pour que ces six équations soient satisfaites par les mêmes valeurs des inconnues\r, 7, z.
On résout les trois premières équations, qui ne contiennent pas a, b, r, par rapport aux inconnues principales x^ y^ z.
En ajoutant ces trois premières équations membre à membre, on «1
6x -4- yy = 27.
En multipliant la première équation par 2 et en en retranchant la seconde membre à membre, il vient
d'où
Celte dernière équation, combinée avec Téquation 6x -h yy = 27, donne immédiatement
267 = 75, d'où 7=3.
Il en résulte
— j:-H9=8 ou .r = i,
el
iH-3-i-2 = 9 ou 3 = 5.
Si ToD substitue ces valeurs dans les trois dernières équations, elles deviennent
n — "ib -\- 5c = ao,
a-+-3b -{- 5c = 44> lofl ~H 9^ — 5r = 26.
Ces équations de condition permettent de calculer les indéterminées a^ b^ c. En retranchant les deux premières membre à membre, on a
6^= 24, d*où ^ = 4- Les deux dernières équations deviennent alors
loa -f- 36 — 5c = a6.
En les ajoutant membre à membre, on trouve
1 1 a -+- 4B = 70, d*où a = a.
La première équation a — 3^-f-5c = 2o donne alors
5c = ao -— 2-+- 12 = 3o, d'où c = 6.
Ainsi, aux valeurs -c = i , j = 3, « = 5, correspondent les valeurs a — a, ^ = 4, 0 = 6, et les six équations données admettent dans ce cas les mdmes racines.
4l4 ALGÈBRE ÉLÉMEl^TÀIRB.
