FORMATION ET DISCUSSION DES FORMULES GÉNÉRALES

DE RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DU PREMIER DEGRÉ

Cas de denx équations à denx inconnnGs.

147. Quelles que soient les équations données, on peu; toujours, en supposant les deux inconnues représentées par x et Xf réunir dans le premier membre de chaque équation les termes en x et en x* ^^ ^^"s le second membre les termes indépendants des inconnues. Si l'on met alors x et/ en facteur commun des quantités qui les multiplient, on peut repré*

senter par

ax -h bx ~- Cy

a'x -h by —(/

un système quelconque de deux équations du premier degré à deux inconnues, a, 6, c, a^ b\ c' sont des quantités numériques ou littérales, monômes ou polynômes, positives ou négatives.

Résolvons ces équations générales. De la première, on déduit

c — nx

Substituons cette valeur de x ^^^^ 1^ seconde équation : elle devient

d'où

ba!x -h cb' — ab'x = bc%

( ab' — 6«') a: = cb' — bt/,

cb' -. b(/ ""- ab'^ba''

ALGÈBRE ÉLÉUENTAIHE. ili

On a alors

^ cb'--bc' ^ ^ab'-^ ba'

Pour simplifîer cette expression, on multiplie ses deux termes par aV — bo! ^ et Ton effectue les calculs indiqués. 11 vient

cab' — cbod — acV H- ab& — cbd + abd

^' "" b{ab'—ba') "^ TÇaV — 6a' ) '

c'est-à-dire, en divisant les deux termes par 6.

ac' — ca'

ab' — ba'

On serait arrivé plus rapidement à cette valeur de y en remarquant que les équations proposées ne changent pas lorsqu'on change a: en ^ et j en a;, a en 6 et 6 en a, a' en b' et b* en a\ En opérant les mêmes changements dans la valeur de^, on trouve immédiatement

ca' — /7c' a(/ — caf

^~ ba' - ab* '^ ab' -- bâ'^

On peut, à Taide des formules trouvées,

ch' — bc' ne' — ca'

^ "" W~~bli' " ^ " âb~^~bâ' '

résoudre un système quelconque de deux équations du premier degré à deux inconnues. Soient les équations

On a, dans ce cas particulier,

a=rz5, 6=:— 3, Crrrg, a' =11, ft'zrr'J, c' = 20;

par suite,

4l6 ALGEBRE ÉLÉMENTAIIIE.

148. On peui facilement retrouver les deux formules générales qu*on vient d'indiquer.

On remarque que les valeurs de j: et de^ ont le même dénominateur. On forme ce dénominateur commun comme il suit. On multiplie en croix les coefficients des inconnues dans les deux équations, en commençant par la première, et Ton sépare les deux produits obtenus, a6' et 6a', par le signe — . Plus généralement, on écrit les deux arrangements ab et ba des coefficients des inconnues dans la première équation, on sépare ces arrangements par le signe — , et l'on accentue la dernière lettre de chacun d'eux : on obtient ainsi ab' — ba\

Pour former le numérateur de chaque inconnue^ on n'a qu'à remplacer dans le dénominateur commun les coefficients de cette inconnue par les seconds membres correspondants. Ainsi, pour avoir le numérateur de la valeur de x^ on doit remplacer dan& ^e dénominateur ab' — ba' les lettres a et a' par c et c' , et Ton obtient cb' — bc'. De même, pour avoir le numérateur de la valeur de j, on doit remplacer dans le même dénominateur les lettres b et b' par c et c', et Ton a ainsi ac' — ca' .

149. Si les formules générales conduisent pour x eXy^ des valeurs positives ou négatives, ces valeurs satisfont nécessairement aux équations proposées, comme on peut s'en convaincre en remarquant qu'on arrive à des identités en substituant les valeurs générales de :r et de ^ dans les deux équations ax -^ by= c, a' x -j- b' y = c'.

Mais les valeurs mises à la place des lettres a, 6, c, a', 6', cf peuvent conduire, pour x et^, à des valeurs singulières qu'il s'agit d'interpréter. Ces valeurs particulières se présentent lorsque l'un des termes des expressions fractionnaires considérées ou tous les deux deviennent nuls.

Pour simplifier la discussion des formules générales, nous mettrons d'abord les équations données sous la forme suivante, en multipliant les deux membres de la première par b* et les deux membres de la seconde par b :

i) ab'x -\- bb'y= cb',

[n) ba'x -4- bb'r — bc',