I® L'un des numérateurs des formules générales ou

ALGEBRE ÉLÉMEfîTAIRE. 4l7

ious les deux sont nuls, sans que le dénominateur commun soit nul et sans que les équations proposées cessent de renfermer les deux inconnues.

Supposons d'abord cb' — 6c'=o ou cb'=bc\ en même lemps que ac' — en' ei ab' — ba' différenis de zéro. Les formules générales deviennent

;rz=0, jrz=

an — rn' ab'—bâ'

Si Ton considère alors les équations (i) et (2) elles-mêmes, on voit que les termes en y et les seconds membres sont idenilques dans les deux équations, tandis que les coefficients de X sont différents. Les deux équations devant être satisfaites par les mêmes valeurs de x et de 7, il faut nécessairement que la valeur de x soit égale à zéro. On a, dans ce cas,

ad — en!

mais, si Ton introduit dans la formule générale j^= u __ l î

bc' la condition c6' — 6c'=o, en remplaçant c par -^7-5 il vient

aussi

/ir^ — — — ^

2 ^ — rt*V-;6aV cUnb'-^ba') &

•^'■^ ab'—ba' ~"b'(ab' -- ba') '" b'(ab' — ba')^ b''

Supposons maintenant c=o et c' = o, en même temps que ab' — ba' différent de zéro. Les deux numérateurs des valeurs générales sont nuls, et Ton a

X = Of ^ = 0.

Quant aux équations (i) et (2), elles deviennent

aé'x -4- bb'jr r= o, ba'x -h bb'jr = o.

Comme les termes en x sont identiques, tandis que les coefficients de X sont différents, ces deux équations ne peuvent être satisfaites par les mêmes valeurs de ^ et de / que si l'on a jr =0, ce qui entraîne immédiatement ^ = 0.

On voit, en résumé, que, lorsque les formules générales

De c— Cours, I. ^7

4l8 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

conduisent à des valeurs nulles, ces valeurs sont admissibles comme toutes les autres valeurs positives ou négatives, et vérifient complètement les équations proposées.

On peut remarquer que les valeurs des inconnues sont nulles lorsque les seconds membres des équations sont égaux à zéro^ et que la valeur de x seule est nulle lorsque les coefficients de y et les seconds membres des équations sont proportionnels,

151. 2® Le dénominateur commun des formules générales est nul, sans qu'aucun des numérateurs le .soit,

m ei n étant deux quantités, positives ou négatives, différentes de zéro, on peut poser cb' — b& =. m et ac' —- ca! = n. Les deux valeurs de j? et de / se présentent donc sous la forme

Ces symboles réunis n'ayant pour nous aucune signification (115), il faut, pour les interpréter, remonter aux deux équations données, mises sous la forme (149)

(i) ab'x + bb'y=cb\

(2) ba'x H- bb'x =z bc\

En vertu de la condition ab'— ba'^Oy qui donne rt^'= Aa', on voit que les premiers membres de ces équations sont identiques, tandis que les seconds membres sont différents, puisqu'on n'a pas cb' z= bc\ Les équations proposées ne peuvent donc être satisfaites par les mêmes valeurs de x et de y; elles sont, par conséquent, contradictoires^ et les deux symboles

— Cl- sont encore ici (115) le signed'uneimpossîbilitcabsolue.

Il faut remarquer que cette impossibilité tient à la réunion des deux équations ; séparément, elles admettent au contraire chacune une infinité de solutions.

On voit que l'incompatibilité des deux équations proposées n lieu lorsque les coefficients des inconnues dans les deux équations sont proportionnels f les seconds membres de ces équations étant quelconques, c'est-à-dire leur rapport n étant pas égal au rapport commun des coefficients.

Si Ton a à la fois ab'— ba'z= o, <?= o, c/ = o, les valeurs gé-

ALGEBRE ÉLÉMENTAiaE. 4^9

nérales des inconnues deviennent

Undis que les équations (i] et (2) so réduisent à

aVx -\- hh'y ~—Oy ha!x -h hVy ^^ o.

Puisqu'on a ah' -il ha! ^ ces deux équations sont identiques ou n'en font plus qu'une seule; x et ^admettent donc une inG-

niié de valeurs, et les symboles - trouvés pour les deux in-

connues sont encore ici (116) un signe d'indétermination.

Ainsi, lorsque les seconds membres c et & des équations données sont égaux à zéro, les valeurs des inconnues sont nulles (150) ou indéterminées^ suivant que le dénominateur commun des formules est différent de zéro ou égal à zéro.

Lorsque, dans ce cas, les valeurs des inconnues sont indéterminées, leur rapport, en vertu de la seule équation qui les

,. , , x b ne, est constant et représente par — =^ •

152. 3® Le dénominateur commun des formules générales est nul, en même temps que l'un des numérateurs.

£n général, lorsque le dénominateur commun est nul, les deux numérateurs sont à la fois différents de zéro ou égaux à zéro.

£n effet, soient

cb' — bc' = m, ad — c(^ m w, aV — &«' = o.

bd La dernière condition donne 6' = — • En remplaçant h' par

cette valeur dans la première équation posée, on a

bn! . h h

m:=c b& ^= lac' — ca) ~ n;

ce qui démontre la remarque énoncée. Celte remarque résulte encore de la suite de rapports égaux

4^0 ALGÈBRE ÉLÉMENTAlllE.

qu'on peut déduire des deux condiiions

ab' — ha' =0 ei b& — cb' = o ou a& — ca' --- o.

])*après cela» si Ton a al/ — ba' =z o ei bd — cb' ^=o ou ac/ — cnf =0,

on a en même temps

ac' — ca' rrr o OU bc' — cb' = o.

Par suite» les valeurs générales deviennent

Quant aux équations (i) et (2)

(i) ab'x -h bb'x z= cb'^

(2) ba'x -h bb'y'=^ bc',

elles sont identiques, puisqu'on a à la fois ab' = ba' et cb'=^bc'. Ces deux équations se réduisent donc à une seule ou rentrent

Tune dans l'autre, et le symbole répété - correspond encore (116) à l'indétermination des inconnues. On dit, dans ce cas, que les équations considérées sont indéterminées ou qu'elles forment un système indéterminé (145).

L'indétermination des équations proposées a lieu lorsque les coefficients des inconnues forment entre eux et avec les seconds membres une suite de rapports égaux.

153. Nous venons de parcourir les cas principaux qui peuvent se présenter. Dans chacun d'eux, il y a complète identité entre les signiôcations attribuées aux symboles particuliers donnés par les formules générales et les interprétations fournies par Texamen direct des équations ellesmêmes. Les autres hypothèses qu'on peut encore examiner font disparaître Tune des inconnues dans l'une des équations ou dans toutes les deux. 11 peut donc se faire alors que l'analogie indiquée soit rompue ; car les calculs du n° 149 supposent expressément qu'aucun des coefficients des inconnues n'est égal à zéro. C'est ce qui a lieu en eiïol.

Soient, par exemple, « = o, ^ = 0, ^'= o. Les équations (i) (t (i) deviennent

ot les formules générales donnent

o — ca*

Dnns cette hypothèse, la première équation est impossible, et cette impossibilité correspond, quant aux valeurs générales, aux deux symboles ~ et — • Il y a plus : x, qui est déterminée, correspond au symbole -y et j^, qui est indéterminée, puisque cette inconnue a disparu des équations, correspond au symbole — •

Si l'on a, en outre, c = o, la première équation devient identique, tandis que la seconde continue de déterminer x, et les valeurs générales

conduisent toutes deux au symbole - •

Enfin, si Ton sl a'^o au lieu de r = o, les deux équations se réduisent à

tandis que les valeurs générales deviennent

Ainsi rindétermination accusée par les formules correspond ici à l'impossibilité absolue des équations.

En dehors des trois cas examinés aux n°* 450, i51, 152, on doit donc consulter directement les équations.

Cas de trois équations à trois inconnues.

15^. Soient trois équations générales du premier degré à trois inconnues :

ax -h br -+- cz =z d,

ifx -h h" y H- c"z = d\

Nous savons, d'après ce qui précède, que ces équations n'admettent, en général, pour les inconnues x, y, z, qu'un seul système de valeurs. Nous allons trouver ces valeurs, sans les rattacher les unes aux autres, en suivant une nouvelle méthode d'élimination irès-remîirquable, connue sous le nom de mé^ ihode de Bezout ou des indéterminées.

Multiplions les deux membres de la première équation par

4^-2 ALGÈBRE ÉLÉMRKTAinE.

une quantité indéterminée m, dont nous nous réservons de fixer convenablement la valeur; multiplions les deux membres de la seconde équation par une seconde indéterminée p; ajoutons ensuite membre à membre les trois équations données. Nous aurons, comme équation résultante^

( am -H a^p -ha^Jx-^l bm -^ Vp -+- M )y

-h ( c/n -h &p 4- c") z r= dm -h d' p -4- df.

Nous pouvons alors, si nous voulons calculer x, profiler de rindétermination des deux quantités m eip pour annuler les coefQcients de y et de z. Posons donc

bm-hb'p=^ -b'\ cm -+- & p =: — c",

et nous trouverons immédiatement

dm H- d!p •+- d" X — - — - — - •

am -h a'p -+- a"

Remarquons que le numérateur de la valeur de x ne diffère de son dénominateur que par le changement de a, a\ a!' y coefficients de X dans les trois équations, en J, d'^ d^^ seconds membres correspondants.

Les deux équations entre m eip donnent d'ailleurs, d'après la règle générale indiquée (14£),

^b'c" " c' 6" cb" — bc"

En substituant ces valeurs dans l'expression de x et en multipliant les deux termes de cette expression par b& ^cV^ il vient

d( b' c'—c'b'')-h d'icb" — bc'' ] -4- d^ibr' — rb') ^ ~" aÇty^' — &()" 'f^a'ïcb" ^ ^f/'y-h a" ( bif^^cb' ) *

En rangeant les lettres d'après le nombre de leurs accents, oi: a finalement

db'c" — d&b" 4- cd'b" — bdU" h- bc'f^-^cb'd^ ^' ^ ^ "" Wi?'^^^c'F~-^ca'b'''-^bli'c''~+ bc'a'''^ cb'a" '

On obtient les valeurs de j^ et de z en suivant une marche analogue. Pouravoir/, on cherche les valeursdes indéterminéf's

ALGÈBRE ÉLÉMENTÀIIIB. 4^3

m ei p qui annulent les coefficients de jret de z dans Véquation résultante; pour avoir z, on cherche les valeurs des indéterminées m ei p qui annulent les coefOcienis de ^ et de/ dans celte même équation^ qui sert ainsi à trouver successivement les trois inconnues.

Mais on peut opérer plus simplement en remarquant que les équations données ne changent pas, quand on fait éprouver une permutation circulaire ( 138) aux trois inconnues x, jr, z, et aux trois coefficients a, 6, c, sans toucher aux accents qui les affectent.

La première équation, par exemple, devient, par suite de cette permutation, cz -f- ax ■+■ by= rf, de sorte que Tordre seul des termes du premier membre est modifié; et il en est de même des deux autres équations.

D'après cela, on passera de la valeur (i) trouvée pour^ à celle de z, en permutant les lettres ^, fr, c, dans le second membre de l'expression (ij, sans toucher aux accents; puis, de la valeur trouvée pour z à celle de /, à Taide d*une nouvelle {permutation circulaire des mêmes lettres /z, 6, c.

Comme ces trois lettres entrent d'une manière identique dans le dénominateur de la valeur de x, les changements indiqués ne modifient dans ce dénominateur que l'ordre des termes en laissant leurs signes intacts* On peut donc écrire les valeurs de / et de z en leur donnant le même dénominateur qu'à la valeur de x, et Ton a ainsi

arrc''^ ac'd"-^ cdd"— da'c''-^- dc'a' -- cd'd

ab'c" — adb"^ caJb" -^ ba'c" H- bc'a" — cb'a*"

ab^d^^ad'b''~h da'b"^ bn'd"^ bd'a"-- dbW ab'c" — ac'b*' 4- c-a'^''— ba'c" -h bc'a" — cb'a"

155. Pour retrouver le dénominateur commun des formules générales (t), (2), (3), on n'a qu'à former les arrangements ab et ba, et à faire passer la troisième lettre c à toutes les places dans chacun d^eux; ce qui fournit les termes

abc, €Lcbf cab, bac, bca, cba.

On doit ensuite affecter respectivement d'un accent et de deux accents la seconde lettre et la troisième lettre de chaque produit, et donner alternativement le signe h- et le signe —

424 algebue élémentaire.

aux résultats trouvés. On retrouve alors le dénominateur commun

D = ab'(f — ac'b" -f- ca'b'' — ha'c" -h bc'a!' — cb'a".

Les numérateurs des formules générales se déduisent immédiatement de ce dénominateur commun^ en y remplaçant les coefficients de V inconnue qu'on cherche par les seconds membres correspondants (154-),

L.es lois qu'on vient d'énoncer relativement à la composition des formules générales, dans le cas de trois équations du premier degré à trois inconnues, sont applicables à un nombre quelconque d'équations du premier degré contenant le même nombre d'inconnues. C'est ce que nous démontrerons plus tard [voirie Chapitre suivant).

156. Lorsque le dénominateur commun D n'est pas nui, le système des trois équations proposées admet une solution unique et déterminée^ qui est représentée par les valeurs (i , (2), (3), du n** 154. On peut vérifier, en effet, que, tant que D n'est pas nul, ces valeurs transforment en ideniiics le^équations considérées.

157. Lorsque le dénominateur commun D est nul, le système des trois équations proposées est impossible ou indéterminé.

En effet, si l'on désigné par M, N, P les numérateurs des valeurs (1), (2), (3), on voit que le système donné est, en vertu de l'équation résultante employée (15'f ], équivalent au système

Si, en même temps que D =0, un des numérateurs au moins est différent de zéro, l'équation correspondante est impossible, et il en est de même du système dont elle fait partie. L'une au moins des valeurs générales se présente alors sous Id

forme — •

Si, au contraire, tous les numérateurs sont nuls en même temps que D = o, toutes les équations posées deviennent identiques, et le système qui leur a donné naissance est indéterminé. Les trois inconnues se présentent alors sous la

forme--

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHB. 4^-^

Les mêmes symboles conservent donc toujours, en général, la même signification.

158. II y a cependant des cas d'exception « comme nous en avons déjà trouvé en discutant les formules de résolution de deux équations du premier degré à deux inconnues (153), avec cette diiïérence que, au delà de deux équations, ces cas d'exception peuvent même avoir Heu sans qu'aucun des coefficients des équations données soit nul.

Admettons, par exemple, que les coefficients des trois inconnues, d'une équation à l'autre, soient proportionnels, sans que leur rapport commun soit égal à celui des seconds membres correspondants. On a alors à la fois

o b c y d ^ ^ ^ ^ ■> ^ à~Vc'<d'' n' '^ b' "'c" <7i''^

et il en résulte évidemment

Les valeurs (i), (it], (3) du n*" 154 peuvent d'ailleurs s'écrire comme il suit:

djl^c'-eb") H- d\cb'- bc") -f. d'ibc' - cb') f - a(b'c"-^cV) -h «'(r// - bc") -+- fi'lbc' — cb')^

y - bica'-^a'l") -f- b' [ac" ^ ca" ) -h b" (ai' -" ne' )'

__ djn'b" -^ b'a'') -h d' (ba" -- nb") -^ d''(rtb' -^ba') * " 7{a'b" - b'a") -h c ( ba" - ab'J^ c"((ib'^ba')'

Si Ton tient compte des conditions précédentes, ces trois valeurs se présentent sous la forme.-) tandis que les équations données sont, en

réalité, incompatibles.

En effet, les neuf binômes qui entrent dans les formules ci-dessus sont nuls d'après les trois suites de rapports égaux supposés. De plus, si Ton

représente par </ et par 7' les rapports -> et -„> le système considéré est

équivalent au système suivant, qu'on obtient en multipliant respectivement les deux dernières équations du système donné par q et par f/' :

ax -h bjr-^ cz = r/, nx -h 6/ H- es = qd\ ax -h bjr ^ cz = q'd"^

Il faudrait donc, pour que les valeurs des inconnues fussent réellement indéterminées, qu'on eût d = qd' ou ~, = ^z et é/ = q'd" ou ^ = -„, ce qui est contre l'hypothèse.

4^6 AL<^£BRE I^LÉMEKTAlIlE.

Par suite, h symbole - correspond ici à l^ incompatibilité des équations pro/x)sées,

159. Nous ne discuterons donc pas les cas particuliers que les formules générales qu'on vient d'établir peuvent présenter. Dans chaque exemple spécial, Texamen des équations proposées per^ieilra une interprétation directe. Nous nous borne* rons, en terminant, à considérer le cas où les trois seconds membres sont égaux à zéro. Les équations sont alors

ax 1- bjr H- cz ^= o, a'x ~f- by -f- c'z = o, a"x ^- b"r -r- c^z - - o.

On déduit des deux premières

ax -h by -— — cz, a'x -\- b'y =: — c'z y

d'où, eii regardant z comme une quantité connue, .

^- ab'-ba' ' ^(cn' — ne') z

Si Ton substitue ces valeurs dans la troisième équation, elle devient

]^a"[hc''^cb')-\- b"{ca' — ac') -t- c^i ab' — W;] zrrzo,

c'est-à-dire

{ab'c"— ac' b" -h ca' b" — 6a' c" 4- bc'a"— cb'a") z^o.

Si le dénominateur commun I) (155), coelHcient dez dans l'équation obtenue, n'est pas nul, il faut que z soit égal à zéro, et il en est de même alors des valeurs de^ et de ^. Les formules générales conduisent au même résultat, puisque tous les termes de leurs numérateurs contiennent l'un des seconds membres rf, d', d\

Si le dénominateur commun D est nul, Téquation en z se présente sous la forme o, 2 = o, et la valeur de z est indéier^

minée : il en est de même alors des valeurs dey el de x. Les formules générales conduisent encore au même résultat.

Ce qu'il faut remarquer, c'est que, les valeurs des inconnues étant indéterminées, les rapports de deux d'entre elles à la troisième ne le sont pas. Les valeurs de x et dey, écrites précédemment, donnent en effet

X ic' — c6' cb' — hc'

z û6' — ab* ab'— ba!

y ca' — ac' ac* — ca!

z ~' ab' — ba' ~~ "" ab' — ba' '

Ces rapports sont égaux aux valeurs de x et de y du n" H7, changées de signe.

Les résultats qu'on vient d'obtenir sont analogues à ceux qu'on a trouvés dans le cas de deux équations à deux inconnues (151).