CHAPITRE V

NOTIONS SUR LA TilÉORIE DES DÉTERMINANTS.

Définitions préliminaires.

160. On entend par permutations de n quantités » représentées par les lettres

^1, ^^2, Ctz, .... An,

les dispositions qu'on peut obtenir en plaçant ces quantités ou en écrivant ces lettres à la suite les unes des autres de toutes les manières possibles. Ces quantités ou ces lettres constituent les éléments de la permutation.

On peut, dans une permutation quelconque, comparer chaque lettre à toutes les lettres qui la suivent. On dit alors qu'il y a dérangement ou inversion chaque fois que les indices des lettres comparées ne se présentent pas dans leur ordre naturel de grandeur croissante, c'est-à-dire chaque fois que le premier indice est plus grand que le second.

Par exemple, la permutation a^a, a, offre deux inversions. Tune de a, à ^i, et l'autre de ai à a^ tandis qu'elle n'en offre pas de a, à ^3. De même, la permutation a^a^a^ n'offre {\\xune seule inversion y de as à ^a.

Les permutations qui contiennent un nombre /^a/r d'inversions sont regardées comme positives, et elles sont de la première classe; les permutations qui contiennent un nombre impa/r d'inversions sont regardées comme négatives, et elles sont de la seconde classe. C'est, en réalité, donner à chaque permutation le signe du produit formé par les différences qu'on obtient en retranchant l'indice de chaque élément des indices des éléments suivants; car, à chaque inversion, et seulement à chaque inversion, correspond alors une différence néijaiivr.

ALGÈBRE ÉLÉMEMTAIEE. 4^0

161. Premier théoeèmb fondamental. — Lorsque^ dans une permutation, on échange deux lettres ou deux éléments, la permutation change de signe ou de classe.

Remarquons d'abord que, lorsqu'on échange deux éléments consécutifs d'une permutation, elle change nécessairement de signe.

£n effet, si l'on échange deux éléments consécutifs tels que a« et ap, les indices des éléments qui précèdent et qui suivent les deux éléments considérés conservent la même relation de grandeur avec a et avec p. Le nombre des inversions ne peut donc être modifié que de a« à a^.

Or, si ces deux éléments présentent d'abord une inversion, ils n'en présentent plus après leur échange ou réciproquement. Le nombre total des inversions varie donc seulement d'une unité, c'est-à-dire de pair devient impair ou réciproquement, et la permutation change de signe (160).

Cela posé, admettons qu'on veuille échanger les deux éléments quelconques ah et a/, et désignons par n le nombre des éléments qu'ils comprennent entre eux.

On peut alors amener ak immédiatement avant a/ par n échanges consécutifs, puis ai à la place occupée précédemment par Uh par (n + i) échanges consécutifs; car il en faut un de plus pour amener d'abord ai avant ^a. On passe ainsi de la permutation donnée à la permutation voulue, en faisant subir successivement à la première (21» + 1) changements de signe; (2/1 + 1) étant un nombre impair, les deux permutations considérées sont, en définitive, de signes contraires.

162. La démonstration précédente prouve en même temps que les permutations positives et négatives de n éléments sont toujours en même nombre.

En effet, à la permutation qui contient a^^ et a, dans Tordre .. .aj^...a,..., répond toujours une autre permutation qui contient les mêmes éléments dans l'ordre inverse ...a^.,.a,^...^ sans autre changement; et ces deux permutations sont de signes contraires, d'après le théorème qu'on vient d'établir.

163. Étant donnée une disposition quelconque, si Ton fait passer le premier élément au dernier rang, sans aucun autre changement, on soumet cette disposition à ce qu'on appelle une permutation circulaire (138).

Si la disposition donnée renferme n éléments, on peut produire la permutation circulaire à l'aide de (/z — i) échanges consécutifs. Par consô-

àlgèbue élémentaihe.

quent, le signe de la disposition ne change alors que dans le cas où n est pair (161); en d'autres termes, la disposition primitive se trouve multipliée par (— !)""*•

Définition des déterminants.

16&, Le dénominateur conomun des formules générales de résolution d'un système d'équations du premier degré contenant le même nombre d'inconnues est ce qu'on appelle le déterminant de ce système d'équations. On le forme donc, dans le cas d'un système de deux ou de trois équations, comme nous l'avons expliqué (148, 15o).

Si l'on a à opérer sur un système de quatre équations à quatre inconnues, voici comment on trouve le déterminant du système. On écrit les permutations (160) des quatre coefcients a, b, c, d des inconnues dans la première équation (on déduit ces permutations des six permutations des trois premiers coefficients a, 6, c, en faisant passer dans chacune d'elles le quatrième coefficient d à toutes ies places); on accentue, dans chaque permutation, la deuxième lettre d*un accent, la troisième lettre de deux accents, la quatrième lettre de trois accents; enfin on donne alternativement le signe -H et le signe — aux vingt-quatre termes obtenus.

La même loi s'applique à la formation du déterminant d'un système de cinq équation^ à cinq inconnues, et ainsi de suite.

165. Il est, d'ailleurs, préférable de définir directement les déterminants, indépendamment des considérations précédentes.

Soit l'expression

al

^n ^n **fi • • •

qui représente le déterminant du /i'*^ ordre. Elle est composée de n lignes horizontales ou de n colonnes verticales^ c'est-à-dire de n^ éléments. Chaque lettre est affectée de deux indices. L'indice inférieur marque la ligne où se trouve l'élé-

ment, Vlnûïce supérieur indique la colonne k laquelle il appartient.

Multiplions entre eux les éléments qui constituent la dia* gonale du carré Oguré par Texpression, en partant du sommet supérieur de gauche et en descendant jusqu'au sommet inférieur de droite. Nous obtiendrons le produit

Si, dans ce produit, qui est le premier terme du déterminant ou son terme principal, nous laissons les indices inférieurs invariables, en permutant (160) les indices supérieurs^ nous trouverons tous les autres termes du déterminant. Ces termes doivent être affectés du signe -+- ou du signe —, suivant que la permutation correspondante des indices supérieurs est de la première ou de la seconde classe, c'est-à-dire présente un nombre pair ou impair d'inversions (160).

Le déterminant du n'^"^ ordre est donc la somme des produits qu'on obtient en associant successivement n quelconques des n' éléments donnés, de manière toutefois qu'un même produit ne contienne jamais deux éléments appartenant à la même ligne ou à la même colonne, et que son signe satisfasse à la définition qu'on vient de rappeler.

En résumé, on voit qu'on forme les différents termes du déterminant, en prenant un élément dans chaque ligne ou dans chaque colonne de toutes les manières possibles, et qu'on doit faire dépendre le signe d'un terme du nombre des inversions qui existent entre les indices supérieurs de ses éléments (160).

11 en résulte immédiatement que, parmi les différents termes d'un déterminant, on n'en peut jamais trouver deux qui soient égaux et de signes contraires, tant qu'aucune relation spéciale n'est imposée aux éléments considérés.

166. Le nombre des termes du déterminant du //""• ordre est, diaprés la loi de formation indiquée, égal au nombre de permutations des // indices supérieurs ou de n quantités quelconques. Nous verrons plus tard que ce nombre est égal au produit i .2.3. . .// des n pieiniers nombres.

Ce déterminant renferme autant de termes positifs que de termes négatifs (162).

167. On indique, le plus souvent, un déterminant, en limitant par deux traits verticaux le système des éléments ou

43a ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

bien en plaçant sous le signe 2, avec un double signe, le terme principal (165). On a ainsi, pour le déterminant du deuxième ordre,

a\ a] al a\

= l±a\al=za\a\— a]aly

et, pour le déterminant du troisième ordre,

al

al

— 2-^a',a\al

ûi

al

al

= rt î aj a; — a| ajaj -+- «î a J aj — aj a J aj 4- af aj al ~ a* a\ a\,

168. Nous avons vu (165) comment on déduit un déterminant de son terme principal, en laissant les indices inférieurs, invariables, et en permutant les indices supérieurs.

Si Ton permute, au contraire, les indices inférieurs, en laissant les indices supérieurs invariables, on trouve le même dé' terminant,

£n effet, dans le premier déterminant, les indices inférieurs, étant écrit dans Tordre i, 2, 3,..., n, ne présentent aucune inversion, de sorte que ces indices forment une permutation de la première classe (160). On peut donc dire que, dans ce premier déterminant, les termes sont positifs ou négatifs suivant que la permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs sont ou non de la même classe.

Mais, pour passer au deuxième déterminant, où les indices supérieurs doivent conserver Tordre 1, 2, 3,..., n, il sulBi évidemment d'échanger convenablement les facteurs des termes du premier déterminant. Les termes des deux déterminants sont donc égaux comme composés desniêmes facteurs. Les signes des termes égaux sont d'ailleurs les mêmes; car les échanges successifs indiqués modifient à la fois la classe de permutation des indices inférieurs et celle des indices supérieurs (161;. Par conséquent, les deux permutations des indices demeurent respectivement ce qu'elles étaient d'abord, de même classe ou de classe différente, de sorie que les termes comparés des deux déterminants conservent aussi le même signe.

C'est ce qu'on peut vérifier sur le déterminant du troisième

ALGÈBRE ÉLÊMEMTAntE.

ordre (167). On a, en adoptant la nouvelle disposition qu'on vient de définir,

^= a\a\a\-^ a\a\a\'fr a\a\a\ — a\a\n\-h a[n\a\-- a\a\a\^

169. Au lieu de distinguer les deux indices de chaque lettre en indice inférieur et en indice supérieur» on peut les écrire horizontalement à côté Tun de l'autre, en les séparant par une virgule. Le terme principal du déterminant devient ainsi

Nous croyons la première notation préférable.

170. On peut aussi conserver les indices inférieurs, en changeant les lettres d'une colonne à Tautre du déterminant. L'indice correspond alors à la ligne, et la lettre à la colonne occupée par l'élément. On emploie très-souvent cette notation.

L'expression du déterminant du n'**^ ordre devient, dans ce cas,

(ix bx Cl . . . A

rtj O2 C2 ■ • • «a ^3 1)3 6*3 . • . » g

Cn» • •

et il a pour terme principal le produit

ai 6a c, . . . /„•

On déduit, comme précédemment, tous les termes du déterminant de ce terme principal, en laissant les indices inva* riables et en permutant les lettres de toutes les manières possibles. L'ordre régulier des lettres est l'ordre a, fr, c,. . ., /. Il y a inversion quBïié cet ordre est modifié d'une lettre à une des lettres suivantes. Le terme considéré est positif ou négatif suivant qu'il présente un nombre pair ou impair d'inversions.

171. Il est bien entendu que, une fois le délerminani Tormé d'après les règles précédentes, on peut en écrire les différents

De C. — Cottrs. I. 28

ALGEBRE ÉLÉMEMTAIHE.

termes dans tel ordre qu'on veut, ainsi que les facteurs de ces termes.

Il est important d'ajouter que les éléments du déterminant peuvent être représentés d'une manière tout à fait quel* conque, c'est-à-dire indépendamment de toute notation ré« gulière, sans que ces mêmes règles, qui se rapportent simplement aux rangs des lignes et des colonnes, soient modiQées.

172. Lorsqu'on supprime dans un déterminant plusieurs lignes et un même nombre de colonnes, le déterminant formé par les lignes et les colonnes conservées est un déterminant mineur du déterminant donné. L'ordre d'un déterminant mineur correspond au nombre des lignes supprimées.

Propriétés des déterminants.

173. L Un déterminant ne change pas quand on y substitue les lignes aux colonnes et les colonnes aux lignes.

On a alors, en effet, à comparer les deux déterminants

Oi v| C| • « • C| Ut O2 C*-.'« « «t

a^ 0% Cj. • . €3

Un "« Ctf • • In

et

Ui Ui a^, . . a„ 6| fr, h^. . . bm

0| O] C^«>> Ctn

•1 *ï tj. . . (n

Or la diagonale du carré des éléments reste la même dans ces deux déterminants; ils ont donc même terme principal, et sont identiques d'après la loi de formation indiquée (165,170). Ce théorème se confond, en réalité, avec la proposition du n* 168; il montre que tout ce qui peut se dire des lignes s'applique aux colonnes, et inversement.

174. II. Quand on échange, dans un déterminant, deux lignes ou deux colonnes, sa valeur est multipliée par — i.

'£n effet, cette modification revient à échanger, dans chaque terme du déterminant, deux indices ou deux lettres; par suite, la permutation représentée par chaque terme doit elle-même changer de classe ou de signe (161), Tous les termes û\x dé terminant changeant de signe, il en est de même de sa valeur.

175. III* Lorsqu'un déterminant présente deux lignes ou deux colonnes identiques^ sa valeur est nulle.

ALGÈBBK ÉLÉMENTÀIBE. 4^^

En effet, lorsqu'on échange les deux lignes ou les deux colonnes identiques, le déterminant reste identique à lui-même, bien que sa valeur D soit multipliée par — i (i*î^)> Cette valeur ne peut donc être que zéro; car, de D = — D, on déduit 2D = o ou D = o.

176. IV. Second théorème fondamental. — Tout déterminant est une fonction (') linéaire et homogène des éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, et, par suite, on peut toujours l'ordonner suivant les éléments de cette ligne ou de cette colonne.

En effet, chaque terme du déterminant contenant par définition un élément de chaque ligne ou de chaque colonne, et un seul, ce déterminant est une fonction linéaire (c'est-à-dire du premier degré) des éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, choisie à volonté. De plus, chaque terme étant du premier degré par rapport à l'élément de cette ligne ou de cette colonne qu'il renferme, le déterminant *est lui-même une fonction homogène (9) de ces éléments.

Cela posé, en mettant en évidence, dans chaque terme, l'élément qui appartient à une ligne ou à une colonne désignée, on pourra ordonner le déterminant suivant les éléments de cette ligne ou de cette colonne. Par exemple, le déterminant du troisième ordre

«I by Cl

a, bt 6'2 Ui bt Ci

peut s'écrire

Ai Al + Aj «a -+- As ^3,

en choisissant comme éléments ordonnateurs ceux de la première colonne. Aucun des coefficients Ai, A,, A» ne contient l'élément qui le multiplie. Il est facile de trouver la loi de formation de ces coefficients.

Prenons, pour plus de généralité, le déterminant du n'^^ ordre ordonné par rapport aux éléments de la première colonne. 11 aura pour expression

Ai rti + A,/ï, -hAs^i -h. . . + A„a„.

(*) Lorsqu'une expression dépend de plusieurs quantités, ou dit qu'elle est ' fonction de ces quantités.

Tous les termes du déterminant qui contiennent a,", par exemple, ne peuvent contenir aucun autre élément de la première ligne ou de la première colonne dont a, fait partie. Dans ces difrorents termes, a, doit donc être multiplié par toutes les dispositions possibles de (n — i) éléments choisis dans les autres lignes ou les autres colonnes. Or ces dispositions forment précisément le déterminant mineur du premier ordre (172), qu'on obtient en supprimant dans le déterminant considéré la première ligne et la première colonne; Ai n'est donc autre chose que ce déterminant mineur.

En répétant ce raisonnement, on voit que les éléments ordonnateurs ai y a^j As»*--) dm ont pour coefficients A,, A„ Ai,. . ., Any les déterminants mineurs du premier ordre qu'où déduit du déterminant proposé, en y supprimant successivement la ligne et la colonne qui se coupent sur l'élément ordonnateur considéré.

La nouvelle forme qu'on peut ainsi donner à un déterminant conduit à des conséquences importantes. Nous allons en indiquer quelques-unes.

177. Écrivons les n valeurs du déterminant D, en TordoDnant suivant les éléments des différentes colonnes. Nous aurons

D = Al a» -f- Al «2 -H As «3 -H • • . 4- Ab Ont

D = B, 6, -{- Bj 6, -h Bs ^3 H- . . . -h B« 6„,

D =3 L| /, -h La /, -4- L, /, H- . . . H- L„ /,.

Les n colonnes verticales formées par les seconds membres de ces équations sont à leur tour les valeurs du déterminant D, ordonné suivant les éléments des différentes lignes; ces valeurs sont donc

D = A, a, 4- B, 6, -4- Cl <?i -4- . . . -h L, /i,

D = Ai fZj H- Bj 6, -h Ca Ca -h , . . 1- L, /a.

178. V. Si, dans un déterminant , tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont nuls, à Vexception d'un seul, le déterminant proposé est égal au produit de cet élément par le déterminant mineur qu'on obtient en supprimant la ligne et la colonne qui se croisent sur ledit élément*

ALGÈBRE ÉLÉAiENTAlBE.

Soit le déterminant (165)

al al

oZ.

an a„ afi* • •

aj

Supposons que, dans ce déterminant» tous les éléments de la ligne a soient nuls, excepté celui de la colonne |3. Si l'on veut alors l'ordonner suivant les éléments de la ligne a, on a, pour sa valeur, une expression de la forme (176)

D = A, /ïi4- Aj nl-\- A3 «i-h . . . H- Ap //J-h . . . -f- A« n'I.

Dans cette expression. Ai, As, As,-.., A^s,..., Ai, représentent les déterminants mineurs du premier ordre, qu'on obtient en supprimant successivement la ligne et la colonne qui se croisent sur les éléments ai, ai, ««,..., ^J, ... , a;. Or, d'après l'hypothèse, IsT valeur du déterminant se réduit simplement à

D = Ap al.

179. Il résulte immédiatement de là que, lorsque tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont nuls, le déterminant a une valeur nulle.

On en conclut encore que, lorsque dans un déterminant tous les éléments situés d'un même côté de la diagonale sont nulsy la valeur du déterminant se réduit à celle de son terme principal.

Pour le voir, il suffit d'écrire successivement, d'après le théorème qu'on vient d'établir (178),

âi 6| Ci . . . /i

bi 6*3

■ . • • ^^^ CCI C/j V ;j . . • f n

180. VI. Lorsqu'on multiplie ou qu'on divise par un même nombre tous les éléments d'une même ligne ou d'une même

ALGÈBRE éLÉMENTAIRE.

colonne^ la valeur du déterminant est multipliée ou divisée par ce nombre.

En effet, si l'on niultiplie ou si Ton divise tous les éléments de la ligne a du déterminant par un facteur k, la valeur D du déterminant, écrite au n*" 178» est elle-même multipliée ou divisée par Ar.

Ce théorème entraîne les conséquences suivantes : On ne change pas la valeur d'un déterminant en supprimant ou en introduisant un facteur commun aux éléments d'une même ligne ou d'ane même colonne, pourvu qu'on mette ce facteur en évidence comme multiplicateur ou diviseur du déterminant. En particulier, si l'on change les signes de tous les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne, on change également le signe de la valeur du déterminant, puisque le facteur introduit est alors égal à — i. Donc, pour rendre au déterminant sa valeur primitive, il faut alors le diviser ou le multiplier par — t.

Lorsqu'un déterminant comprend deux lignes ou deux colonnes proportionnelles (c'est-à-dire composées d'éléments respectivement proportionnels), sa valeur est égale à zéro.

En effet, si le rapport des éléments de la première ligne considérée aux cléments correspondants de la seconde ligne est égal à k, on peut multiplier cette seconde ligne par k, pourvu qu'on divise le déterminant par ce même facteur; mais alors la seconde ligne devient identique à la première, et le déterminant est nul (175).

181. VII. Si les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne sont des sommes d'un même nombre de quantités, le déterminant proposé est la somme d'autant de déterpiinants que l'un de ces éléments contient de termes. Ces déterminants se forment en associant respectivement les différents termes des éléments de la ligne ou de la colonne composée avei les éléments des autres lignes ou des autres colonnes simples.

En se reportant encore au n'* 176, on démontre immédiaiement ce théorème. On a, par exemple,

«1 Al

fr.

bi c,

«a bi

bi Ci

ki

bi c,

Il résulte de là et de la remarque qui termine le n" ISOqu'o/i ne change pas la valeur d'un déterminant en ajoutant

ALGÈBRE ÉLÉMENTAiaE.

aux éléments d'une même ligne ou d'une même colonne ceux d'autres lignes ou d* autres colonnes respectivement multipliés par des facteurs constants.

On a

f par exemple,

ax + mbx'\'pci bx Cx

ai -H mbi -*- pct bj d

«, -h mbi 4- pcs bi Ci

Oi 6,

mbx bx Cx

pCx

bx

rt, Ih

mbi bi Ci

pCi

bi

fil ^>9

mbi bi Ci

pci

Les deux derniers déterminants présentant deux colonnes proportionnelles ont des valeurs nulles (180), et l'énoncé ci-dessus est justifié. Cet énoncé s'étend évidemment au cas où Ton modifie de la même manière plusieurs lignes ou plusieurs colonnes du déterminant, et à celui où les coefficients constants m eip sont égaux à ii= i.

Loi de formation d'un déterminant.