Soit le déterminant

«1 ^1 Cx

ai bi Ci

rt„

Proposons-nous de l'écrire, en l'ordonnant effectivement suivant les éléments d*une même ligne ou d'une même colonne. Si nous choisissons, par exemple, la ligne a, et si nous désignons par A la valeur du déterminant, nous aurons

( I ) A = A. <ï« -h B, &, -h Ca e. H- . . . -H L« /a.

Dans cette expression, les coefficients Â., B«, €«,... sont les déterminants mineurs du premier ordre qui correspondent successivement à la suppression de la première, de la deuxième, de la troisième colonne, etc., combinée avec celle de la ligne considérée de rang a (176).

Pour former ces déterminants mineurs, il est commode d'opérer comme il suit.

44o ALGÎELBKE ÉLÉMEKTAIRK

Si l'on fait monter la ligne a au premier rang, en la permutant successivement avec les lignes précédentes, on change chaque fois le signe du déterminant (174), de sorte que, pour lui conserver son véritable signe, il faut aussi chaque fois le multiplier par — i. Le nombre des échanges effectués étant (a — i), le facteur multiplicateur sera donc finalement (— i)*"'. On peut d'ailleurs le remplacer par le facteur (—i )•"*"•» puisque (— 1)»= i. Ainsi Ton peut écrire

/ïi

Maintenant, si l'on suppose nuls tous les éléments de la ligne a (amenée en tête), à l'exception du premier, la valeur du déterminant se réduit, d'une part, à Â^a., d'après la for* mule (i), et d'autre part (178) a

ûa

Ca-k-i

En comparant ces deux valeurs de A, on a donc

ba+i

Ca+t

ft • * • ■

0^ I Cgt — I • • ■ la— I

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHE.

4îi

On irouve B« d'une manière ideniique, en remarquant seulement que, pour faire passer à la fois au premier rang la ligne a et Télémeni 6., il faut une permutation de plus entre la seconde et la première colonne; 11 faut donc aussi faire croître d'une unité l'exposant du facteur multiplicateur. On a par conséquent

fl« — I ^a— I • • • '« — I

^«-♦-1 • • • 'a-Hi

On forme de même l'expression de C en faisant croître encore d'une unité l'exposant du facteur muliiplicateur, puisqu'on doit opérer une permutation de plus, de la troisième à la première colonne. La loi est évidente. On voit que les coefficients obtenus soni alternativement positifs et négatifs, ou inversement, suivant le point de départ.

183. En appliquant l'algorithme qu'on vient de démontrer au déterminant du troisième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne, on trouve, pour

A = A, û, H- B, 6, -h C, c, en faisant a = i dans les résultats du numéro précédent.

C, = (-iy

<ts

fil

= bjCi — Ci b^y

= — {rtjCj — Cjûj),

= «a^» — btU^.

On a donc effectivement

A = «,(A,6-3 — c, A3)— fti(«aC3 — Cj «3) -h 0,(^,63 — b^a^) =.«i bi Cs ~ fl, c, é, -H 6', a-i As — A, n^ c^ -+- A, c, a^ — c, A, a^.

Le déterminant du quatrième ordre, ordonné suivant les éléments de la première ligne, peut de même s'écrire immé-

diaiement

ALGLBRE ÉLÉBf EU TAIRE.

bi Ci dt bz C3 di bi c, d,

rfi

ûa 6a rfa

Cl «s 63 di

Gi 64 âf(

-rf,

«3 by ''3

Il ne reste plus qu'à efTectuer, comme nous venons de le faire, les déterminants mineurs qui sont des déterminants du troisième ordre.

ISi. Voici encore deux autres exemples :

yx'-\

- xy".

Ce premier déterminant est ordonné suivant les éléments de la première colonne. Nous ordonnons le second suivant les éléments de la première ligne.

= A(A'A''— B») — B'^fB^A'' — BB')