B'(B"B — A'B') = A A'A'-i- aBB'B''- AB» - A'B'»— VB

Le déterminant qu'on vient d'effectuer, et qui joue un rôle important dans la théorie des surfaces du second degré, est un déterminant symétrique. On appelle ainsi tout déterminant dans lequel les éléments conjugués, c'est-à-dire placés symétriquement de part et d'autre de la diagonale, sont égaux.

185. L'emploi du déterminant du troisième ordre étant trèsfréquent, nous indiquerons encore, pour le former, la règle suivante due à Sarrus.

Écrivons le déterminant, en répétant au-dessous ses. deux

ALGÈBRE ÉLÉMEriTAIRE. 443

premières lignes; nous aurons

Cj

Cj

tfa

Les termes positifs du déterminant (oi 6aCs, aa^sOi, a^bi d) sont alors donnés parles diagonales complètes qui descendent de gauche à droite, et les termes négatifs ((hbiCi, aib^d, ^sbiCi), par les diagonales complètes qui montent de gauche & droite.

Résolution générale des équations du premier degré.

186. La théorie des déterminants permet d'obtenir très-simplement les formules générales de résolution de n équations du premier degré à n inconnues. Soient ces équations

( rt, a; -h 6, r 4- Ci -3 -h . . . -+- /i / = /?!,

, . I fl, X H- bjX 4- Ca 3 -4- . . . -h /a / = /?a,

\ anX-\r 6„ J H- C„ Z 4- . . . -h /» / = p-.

Désignons par A le déterminant formé par les n' coefficients des n Inconnues. On peut l'ordoitner suivant les éléments des différentes colonnes (177), et l'écrire sous les n formes suivantes :

A = A, a, -H Aï aa -H As «3 -h ... -H A«fl„,

A = B, 6, -h Ba 6a 4- B3 63 -h . . . -h B„ 6„,

l\ — L$t II "T" Léi 'a ~r~ L»3 '3 H~ • • • "T" I-'n '«•

Si Ton remplace maintenant successivement, dans la première valeur de A, la lettre a par les (n — i) autres lettres b, €f"'f If sans toucher aux indices, on obtient les n — i équations

A,6, -h Aa6a-l- Aafts-H. • -hA„6« = o,

, . A, Cl -+- Aa Ca -h As 6*8 4- . . . -h A« C?« = O,

A, /, 4- Aa /a 4- A, /s -H . • • 4- A« /„ = O.

En effet y lorsqu'un déterminant présente deux colonnes identiques, sa valeur esi nulle (175).

Cela posé» multiplions respectivement les n équations (i) par les coefficients Ai, A3, As,. . ., A«, et ajoutons-les ensuite membre à membre. Les coefûcients des (n — i) inconnues /, z,..., t deviennent alors précisément les premiers membres des équations (2), de sorte que l'équation résultante se réduit à

(A, (h + Ai r/, -h A3 rts -f- . . . H- A« On) X

= Aip, -4- Aa/?a 4- A3/?»4-. . .4- A«/?«,

d'où

A|/?i -4- Aa^t 4- As/^a H-. . .4- A„^B

Al tlx -h Aa ûfa -4- A3 ^^3 -4- . . . 4- \a (f„

c'est-à-dire, en mettant les deux termes de cette valeur sous forme de déterminant,

p\ bx Ci Pi bi C2

^1 61 Ct Gi 6| C3

On trouve de la même manière les valeurs des autres inconnues. On a, par exemple,

l^np.

On voit que le dénominateur commun des formules générales ainsi obtenues est le déterminant A des coefficients des inconnues f et que, pour avoir le numérateur de chaque formule, il faut remplacer dans le dénominateur commun, sans toucher aux indices, le coefficient de l'inconnue qu'on cherche par le terme indépendant p.

L'énoncé précédent constitue les Règles de Cramer, déjà vériOées dans le cas d'un système de deux ou trois équations (148, 155). Ce géomètre peut être regardé comme le second inventeur des déterminants (1750); le premier est Leibnitz (1693).

Pour que la démonstration que nous venons de donner soit admissible, il faut que les déterminants mineurs (176) A., As, As, . . ., A», par lesquels nous avons respectivement mulliplié les équations proposées, ne soient pas tous nuls (100).

ALGÈBRE Élémentaire:. 44S

187. Tant que le déterminant A n'est pas nui, les valeurs fournies par les formules générales donnent, pour le système proposé, une solution unique et déterminée.

Si Ton substitue, en effet, ces valeurs à la place des inconnues, en chassant le dénominateur commun A, la première des équations (i) [186] devient

Si Ton ordonne alors le premier membre de cette équation par rapport aux termes indépendants /?,, />„.•., z?,,, on remarque que le coefficient de p^ est le déterminant A, ordonné suivant les éléments <>,, ^„..., /, de la première ligne (177). Le coefficient de /?, est ce même déterminant, ordonné suivant les éléments de la seconde ligne remplacés ensuite par ceux de la première ligne. Le coefficient dep^ est donc égal à o (175). Les coefficients de /^j,. . ., p^ sont nuls pour la même raison. Le premier membre de Téquation considérée se réduit ainsi à A/?, , de sorte que cette première équation est bien vérifiée par les valeurs des inconnues.

On peut répéter le même raisonnement pour les (/z — i) autres équations.

188. Lorsque le déterminant A est nul, le système proposé est impos' sible ou indéterminé.

En effet, si Ton remplace la première des équations données (186), dont les deux membres ont été multipliés par A,, par l'équation résultante (186)

(r) Ax = A, /y, -f- A,/^, -4- A3 /V3 -f- . . .-h A„/?^,

on forme un système équivalent au système proposé (122).

Or, si le second membre de l'équation (r) est différent de zéro, cette équation, d'après l'hypothèse A = o, est impossible, ainsi que le système dont elle foit partie. Il en est donc de même du système proposé.

Si, au contraire, le second membre de l'équation (r) est nul, cette équation devient une identité, et le second système, équivalent au premier, se réduit à un système de (n — i) équations à n inconnues.' Le système donné est donc indéterminé (itô).

189. Quand les seconds membres des équations données sont nuls, sauf un seul, pi^ par exemple, les valeurs des inconnues sont respectivement proportionnelles aux déterminants mineurs de même indice^ A^, B^, Q, . . . .

On a, en effet (186),

190. D'après cela, si les seconds membres des équations données sont

446 ALGÈBRE ÉLÉMErfTAIRE.

tous nuls [^)^etsi le déterminant A n^ est pas nul, les valeurs des inconnues sont toutes égales à zéro; mais, si A est nui, les valeurs des inconnues sont indéterminées (i88).

Ce qu'il y a de remarquable dans ce dernier cas, c'est que les rapports des inconnues sont, au contraire, déterminés. En effet, si l'on prend, par exemple, pour nouvelles inconnues, les rap-

ports - ) y» - . • • • 5 et si Ton divise par t les deux membres des (« — i)

premières équations données (486), on a (« — i) équations pour [n — i) inconnues, de sorte que chacun des rapports considérés admet, en général, une valeur unique et déterminée.

Pour qu'il en soit ainsi, il faut que la /i*"' équation donnée, ramenée à la forme

soit satisfaite d'elle-même par les valeurs obtenues pour les rapports -

-) -)•••• Cette équation (c) est donc une équation de condition (146).

Mais on doit parvenir au même résultat, sauf la division par /, en remplaçant dans la /i*"" équation non modifiée les (/? — i) inconnues x, /, a,..., par leurs valeurs déduites des (« — i) premières équations, quand on y regarde / comme connu. On trouve alors A/ = o (186), puisque tous les seconds membres des équations proposées sont nuls. L'équation de condition (c) se réduit donc, en réalité, à

Par conséquent, dans le cas ou tous les seconds membres des équations données sont nuls, c^est-à-dire lorsqu'il s'agit d'un système d'équations homogènes (9), les rapports des inconnues sont ou non déterminés, sui" vant que le déterminant A est ou non égal à zéro. C'est la première hypothèse qu'on suppose ici remplie.

191. On peut demander les valeurs des rapports -i -^ -)•••• Les (n -^ i) équations qui déterminent ces rapports sont (190)

JC Y z

Le déterminant A étant nul, on a, en l'ordonnant par rapport aux

(*) On a alors un système d'équations homogènes

éléments de la ligne de rang k (177, 186),

A j ^» -h B» ^4 H- C» c^ -h . . . -h Lj /fc = 0 .

On a aussi (175), en remplaçant successivement ces mômes éléments par ceux de la première, de la deuxième, ..., de la (X—i )'*"*, delà \k H- i)û^,. . . , de la (/ï - 1)*^ ligne,

Aj ûr, -h Bj 6, -4- C| c, -h . . . -h Lj /, = o, A» a, -4- Bfc ^», -h C» r, -4- . . . -h Lfc /, = o ,

A»ûf«, ■+- B»^»., H- C»c„, -+-. . .-h L, /,., = o.

Les (n — i) équations qu'on vient d'écrire ne diffèrent évidemment des

ABC équations (R) que par la substitution des rapports |-*> -j-*? ^i • • • i aux

*-» ^ ^ rapports •-? ^j -)•••> /- pouvant prendre, dans les premiers, toutes les

valeurs entières depuis i jusqu'à //. On a donc, finalement,

•^ A» 7" B^ ^ __ Cj

En particulier, si le déterminant du troisième ordre est nul, on a (183|)

f = ^ = ^=^= ^' ^» "• ^' ^» = ^1 ^3 -- ^1 ^ ^ K^zzUiiJLi

•I=5i=2H=2ê= g, fl, - <J, ^2 <^t ^3 — <]^. ^3 ^ g, ^/3 — ^^ C^ ^

z c, C, C3 fl, 6, — 6, /7, a,b^—b,a^ ^',^i— ^j^i

192. U résulte immédiatement de ce qui précède que, lorsqu'un déterminant est nul, les déterminants mineurs du premier ordre, qui corres" pondent à deux lignes d'éléments parallèles, forment deux séries de gran' deuTS proportionnelles,

193. TnfiORÈMB. — Si l'on a (n + 1) équations du premier degré contenant n inconnues, le résultat de l'élimination de ces n inconnues s'obtient en égalant à zéro le déterminant du (n -+-i)*" ordre formé par fe* (n-H i)' coefficients des équations données, y compris leurs termes indépendants.

Ce théorème est une conséquence évidente de la proposition du n^ 190» relative aux équations homogènes. Comme il a une très-grande importance, notamment en Géométrie analytique, ainsi que nous le verrons plus tard, nous allons le démontrer de nouveau directement.

i(48 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Soient les {n -h i) équaiions

qui renferment les n inconnues ar, /, iî,. . ., /.

Pour éliminer ces inconnues, on n'a qu'à déduire leurs valeurs des n premières équaiions et à substituer ces valeurs dans la (/i -h i)'*"" équation.

Cela posé, introduisons dans le système une (in- i)'*^ inconnue» que nous désignerons par u, en multipliant tous les seconds membres /i„ pa, /?j,. . ., pn+i par celte inconnue. Les équations données deviendront alors

ai X -h h-iy -^ c, z -i- . . . -h h t — /?î a = o, • - ...•..,

61 elles représenteront un système de (n-Hi) équations a (/i-h i) inconnues, ayant leurs seconds membres tous égaux à zéro, c'est-à-dire un système d'équations homogènes.

Si l'on déduit alors les valeurs des n inconnues x, jr, z,..., / des n premières équations, et si l'on substitue ces valeurs dans la dernière équation, on obtient pour équation résultante (186)

A représente le déterminant de tous les coefficients des équations primitives, y compris leurs seconds membres pi, p^j Psf "9 pn^ïf changés de signes.

Mais, pour revenir au système (i), il suffit de faire ii = i, et l'on trouve alors simplement, pour résultat de l'élimination des n inconnues a:, j, z,. . ., /, l'équation A = o, c'est-à-dire

û«-t-i ''m-i ^'u-i-i • • • *«+! Pit

C'est ce qu'on appelle la résultante du système (i).

ALGÈBItE ÉLÉMEUTÀinE.

Calcnl de la valeur d'un déterminant.

i9i. Pour calculer la valeur d'un déterminant, on peut employer fa méthode générale indiquée au n** 182; mais on arrive souvent beaucoup plus rapidement au résultat en cherchant à ramener directemept, à ]*aide des théorèmes précédemment démontrés, le déterminant proposé à un déterminant mineur de plus en plus simple.

Supposons, par exemple, qu'on demande de trouver la valeur du déterminant numérique

Nous avons vu (173) qu'on ne changeait pas la valeur d'un déterminant en ajoutant aux éléments d'une même ligne ou d'une même colonne ceux d'autres lignes ou d'autres colonnes, respectivement multipliés par de» quantités constantes. Nous pouvons donc retrancher des trois premières colonnes du déterminant proposé la dernière colonne, multipliée successivement par les facteurs a, 3 et 4< Nous pouvons de môme, dans le nouveau déterminant formé, soustraire de la dernière colonne la somme des trois premières. Nous aurons ainsi

a 4 2 II

Nous sommes alors conduit à remplacer les trois dernières colonnes par les résultats qu'on obtient en retranchant de chacune d'elles la première colonne. On réduit de cette manière tous les éléments de la première ligne à zéro, sauf un seul; ce qui permet de passer immédiatement à un déterminant mineur (178) et d'écrire

Retranchons enfin de la première colonne de ce déterminant mineur deux fois la dernière. Les éléments de la dernière ligne seront réduits à zéro, sauf un seul, de sorte que nous parviendrons à un déterminant mineur

De C. — Cours, l. 29

du deuxième degré, immédiatement calculable. On a donc finalement

195. On peut, dans d'autres cas, chercher à faire apparaître successivement les facteurs qui composent le déterminant. Nous empruntoik^ l'exemple suivant aux Leçons d^ Algèbre supérieure de G. Salhon.

Soit le déterminant du w***' ordre

Si Ton suppose « = P, les deux premières colonnes deviennent identiques, et le déterminant se réduit à zéro (i7S). Il en est de même si l'on fait a = 7, a = ^, . . . , p = 7, P = ^, . . ., 7 = ^, — Par suite, le déterminant proposé admet les facteurs (a — p), (a — 7). (a — ^),..., et contient le produit

Il est d'ailleurs facile de voir que, sauf le signe qui peut être plus ou moins, ce produit représente la valeur môme du déterminant. En effet, il renferme déjà les facteurs a"-*, P"-', 7""*, ^-\ .. . , et ces quantités ne peuvent se trouver à une puissance supérieure dans le déterminant; de plus, en comparant les coefficients des différents éléments, on s'assure que le déterminant considéré ne peut admettre aucun coefficient numérique.