CHAPITRE VI

DISCUSSION DES PROBLÈMES, - INTERPilÉTATION DES SOLUTIONS NÉGATIVES.

Observations générales.

197. 11 y a trois choses à considérer dans la résolution d'un problème d'Algèbre :

Sa mise en équations, la résolution des équations ainsi posées, la discussion des valeurs qu'elles fournissent.

La mise en équations n'esl que la traduction algébrique des relations établies par l'énoncé entre les données et les inconnues du problème : il faut indiquer, sur les lettres qui représentent ces données et ces inconnues, les mêmes opérations qu'on aurait à faire pour vérifier numériquement les solutions obtenues.

Nous avons traité dans les Chapitres précédents de la résolution d'un système quelconque d'équations du premier degré, et nous n'avons pas à y revenir. Il nous reste donc seulement à parler de la discussion.

Discuter un problème, c'est étudier ses conditions de possibilité, et chercher quelles sont les valeurs des données qui correspondent à des valeurs remarquables ou singulières des inconnues. Nous allons préciser la nécessité d'une pareille discussion.

198. Les valeurs négatives fournies par la résolution des équations y satisfont toujours (IH, 128); mais il y a lieu de distinguer entre les équations posées et le problème qui leur a donné naissance, parce que les résultats numériques obtenus à l'aide de ces équations peuvent n'avoir aucun sens par raoport aux grandeurs considérées dans le problème.

Ainsi, les valeurs positives elles-mêmes peuvent ne pas convenir à la question, si toutes les conditions du problème n'ont pas été introduites dans ia mise en équations. Par exemple, il

ALGÈBaS ÉLÉMENTAIRE. 4^3

est impossible d'écrire que la valeur d'une inconnue doit être entière, précisément à cause de la généralité qui appartient aux symboles algébriques.

Les valeurs négatives peuvent être le signe d'une impossibilité absolue; mais elles sont souvent tout aussi admissibles que les valeurs positives, et, dans certains cas, elles seules répondent à la question.

Enfin, les valeurs des inconnues peuvent se présenter sous la forme de symboles généraux qui nécessitent une interprétation particulière (115, 116).

Il est donc indispensable de discuter les valeurs obtenues, quelles qu'elles soient, en les comparant à l'énoncé du problème. Cette discussion a de plus, comme nous le verrons, l'avantage de permettre de déduire d'un seul système de formules tous les cas particuliers d'une même question, en Introduisant dans ces formules les hypothèses correspondantes.

Interprétation des solutions négatives.