Soit d'abord l'équation du premier degré à une inconnue

ax -^ h =: a'x -\- b\

Supposons qu'on trouve en la résolvant x = — A*. On a alors ou

— fif, -^ b ^ — a' fi -h b\

Il en résulte que ^ = A* est racine de l'équation

— ftx -\- h z— — a' X 4- h\

qui ne diiTère de l'équation proposée que par le changement de :r en — a:.

Par suite, quand deux équations du premier degré à une inconnue ne diffèrent que par le signe de cette inconnue, elles admettent la même racine, sauf le signe.

De même, si le système

ax -{- by -k- cz = r/,

a' JT -h // y -f- c' z = il\ nrr-r-b"y-^c"z = d"

454 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

esl satisfait par les valeurs x := /, ^ = — m, z = — p^ ou a

al — bm — cp = d, a'l^b'm—c'p = d\ oTi b^m — c> = d";

et il en résulte que a!; = l, ;^ = mfZ=p sont racines du système

ax — bjr — cz =dj a'x — b'y — c'z = d\ a''x — by—c''z = d'\

qui ne difTère du système donné que par le changement de y en — r et de z en — z.

On peut donc énoncer ce théorème fondamental : Toutes les fois que deux systèmes ne diffèrent que par le changement dft signe d'une ou de plusieurs inconnues, leurs racines sont les mêmes en valeur absolue; seulement, les valeurs des inconnues qui ont changé de signes présentent aussi des signes différents.

Mais réquation ou le système d'équations, déduit de l'équation ou du système d'équations donné par de simples changements de signes, peut correspondre au problème proposé, entendu dans un sens plus général; et Ton voit par là que In possibilité de donner une interprétation rationnelle aux valeurs négatives trouvées dépend précisément de la comparaison de renoncé primitif avec le système modifié.

Nous allons montrer maintenant, par quelques exemples très-simples, dans quels cas les valeurs négatives s'interprètent ainsi d'une manière toute naturelle ou, pour mieux dire, évidente.

200. I. Un mobile, partant d'un point donné, parcourt tuccessivement sur une ligne donnée plusieurs longueurs données; on demande à quelle distance il se trouve finalement du point de départ.

Supposons d'abord que le mobile parte du point 0 et qu'il marche, toujours en s'éloignant, à droite de ce point. Si l'on désigne par a, b, c, d les longueurs OA, AB, BC, CD, successivement parcourues dans le sens indiqué, et par x la distance

Al.GÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 4^^

cherchée, on a immédiaiemeni [ffç^'i)

Si, au contraire, le mobile marche, tantôt dans un sens, tantôt dans Taulre, s'il parcourt la distance a en s'éloignant du point 0, puis la distance b en s'en rapprochant, la dislance c en s'en éloignant

encore, et la distance d en revenant une seconde fois sur ses pas, la formule est

La valeur de x est encore positive si la dernière position D du mobile se trouve toujours à droite du point 0 ^^^' ^ ^* ^*

{fig. 3); mais cette valeur ji ^

est au contraire négative et .^-y^^^îT^^^^ ^

évidemment égale à — OD ^^C^^ ^ si le point D est à gauche du point 0 [fig, 4)-

Ainsi, le point D étant à droite ^Q l'origine cAow/eO, x^ la valeur derinconnueo; est

positive; le point D étant à gauche de l'origine choisie^ la valeur de l'inconnue est négative: le changement de signe correspond au changement de sens.

La valeur négative s'introduit ici par le jeu même du calcul, et alors elle a un sens tout aussi net que la valeur positive. On demande de compter une distance à partir d'un point donné : c'est la position du point donné qui entratne la possibilité d'une valeur négative. En etfet, si, au lieu de prendre le point 0 pour origine, on choisissait un point S assez éloigné vers la gauche du point 0 pour que le mobile dans ses plus grands écarts à gauche de ce point ne pût jamais dépasser la nouvelle origine, on n'obtiendrait jamais de solution négative. Appelons S la distance OS. Si l'on désigne toujours par x la dislance Gnale du mobile au point 0 et par X sa distance finale au point S, on a« dans le premier cas considéré.

456 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

et, dans le dernier,

X r= S -+- a? = S -h o — 6 -f- c — rf = S — OD;

car, quand le mobile s'éloigne du point S, on doit ajouter la distance qu'il parcourt à la distance précédente, et quand il s'en rapproche, on doit la retrancher. La valeur de X est d'ailleurs toujours positive, puisque OD, par hypothèse, ne peut jamais égaler S lorsque le point D est situé à gauche du point 0; la valeur de X est seulement plus grande ou plus petite que S, c'est-à-dire que la valeur de x est addithe ou soustractive, suivant qu'elle est comptée à droite ou à gauche du point 0. L'introduction d'une origine fictive S montre bien, dans ce cas, la dépendance qui existe entre le signe de l'inconnue et le sens dans lequel elle doit être comptée.

Nous dirons donc, d'une manière générale, que, lorsqu'une longueur est susceptible d'être comptée sur une même ligne^ à partir d'un même point fixe, dans deux sens nettement différents, le changement de sens est indiqué algébriquement par le changement de signe; de sorte que, si l'on regarde et si l'on écrit comme positives dans les équations les longueurs comptées dans un certain sens y d'ailleurs arbitraire, les résultats négatifs indiquent des longueurs comptées en sens contraire.

Ainsi, le zéro du thermomètre étant pris pour point de départ des températures, -4- 25° signifient 25 degrés au-dessus de zéro, et — 25* signifient 25 degrés au-dessous de zéro.

De même, Véquateur terrestre étant considéré comme point de départ des latitudes, h- 4<^° de latitude signifient 4o degrés de latitude Nord, et —4o" signifient 4© degrés de latitude Sud,

Si l'on applique ce qui précède, non-seulement aux inconnues, mais aussi aux quantités données, on peut réunir dans une seule formule les cas particuliers d'une même question; et les deux formules précédentes

x^^a-^b-^-c-^d, X =^a — b -ir c — d

peuvent être remplacées par la formule unique

pourvu qu'on convienne de regarder comme négatives les quantités données ou inconnues, lorsqu'elles sont comptées

vers la gauche, par exemple, ei comme positives celles qui sont comptées vers la droite.

201. II. Mener à la base d'un triangle une parallèle qui soit comprise entre les deux autres côtés et dont la longueur soit donnée.

Soient (Jlg» 5) a la base du triangle donné ABC, c la longueur du côté AB et / la longueur de la parallèle demandée.

Supposons que cette parallèle soit DE, et prenons pour inconnue x la distance du point B au point D. Nous aurons immédiatement, d'après la Géométrie,

AI) DE c — x l