AB"~BG

Fig. 5.

d'où

ac — ax =: cl ei x=z

Si a est > /, la valeur de x est positive et moindre que c, et la parallèle demandée est placée comme la droite DE de la figure.

Si a est <C /, la valeur de x est négative. Pour l'interpréter, changeons ^ en — x dans l'équation (i). Il vient

Or réquation (2) est précisément celle qu'on obtient en supposant la parallèle demandée placée, comme D'Ë', au-dessous de la base a. L'inconnue x a alors, d'après cette équation, la valeur [îositivc

La valeur négative, donnée par l'équation (i), dans le cas de a <C /» correspond donc simplement au changement de sens de l'inconnue, susceptible d'être comptée à partir du point fixe B, sur la droite BA, dans la direction BA ou dans la direction contraire, suivant l'hypothèse /<a ou />«.

Dans l'exemple que nous venons d'examiner, c'est bien

458 ALGEBRE ÉLÉM EX TAIRE.

encore le choix de l'origine qui eniratne la possibilité d'une valeur négaiive pour Tinconnue. En effet, si nous prenions A pour origine, l'Inconnue ^ = AD ou AD' serait toujours comptée dans le même sens, et Ton aurait pour équation du problème

ADouAÏV DE ou DE' x l

^ ' AB liC c a

c'est-à-dire

X aurait donc toujours une valeur positive, seulemeni moindre ou plus grande que c, suivant la condition

/<;« ou />a.

202. 111. On donne l'âge d'un père et celui de sonjils: on demande à quelle époque le rapport des deux âges se trouve égal à m.

Appelons a l'âge du père, b celui du fils, x le nombre d'années cherché. L'équation du problème est évidemment

il -^ X

d'où

, a — hm

a -h X = bm -h mx et x z=z

Le dénominateur de la valeur de x est toujours positif, m étant toujours supérieur à i; mais le numérateur de celte valeur est positif ou négatif et, par suite, la valeur de x est positive ou négative, suivant qu'on a a > bm ou /z < bm.

Si l'on a a'^bm, on a aussi t > m. Or, y étant une exnres-

sion fractionnaire, c'est-à-dire une quantité plus grande quei,

si l'on augmente ses deux termes d'une même quantité ;r, elle

diminue et, d'abord plus grande que m, peut devenir égale à

m : la solution a lieu dans Vaveniry et x esi positif.

Si l'on a, au contraire, a < bm, on en déduit r<im.Si l'on

ajoute aux deux termes de l'expression fractionnaire j une même quantité, cette expression diminue; actuellement plus

ALGÈBRE ÉLÉMEKTÀIIIE. 4^9

petite que m, elle s'écarte de plus en plus de cette valeur à mesure qu*on marche vers l'avenir; mais, si l'on retranche

une même quantité x aux deux termes de -r) cette expression

augmente et, d'abord plus petite que m, peut devenir égale à m. La solution correspond donc à un temps passé, et a: est négatif.

Ainsi, l'époque demandée étant postérieure au moment présent, la valeur de ar est positive; cette époque étant antérieure au moment présent, la valeur de x est négative,

La valeur négative s'introduit encore ici par le jeu même du calcul, et alors présente un sens tout aussi net que la valeur positive. On demande de compter les années à partir d'un instant donné : c'est le choix de cet instant qui entraîne la possibilité d'une valeur négative. £n effet, si, au lieu de prendre pour origine des temps le moment présent, on choisissait une ère quelconque rejetée assez loin dans le passé, on ne trouverait jamais pour :r de valeur négative. Si le nombre d'années qui sépare Tère adoptée du moment présent est représenté par N et si X est le nombre d'années qui sépare cette ère de l'instant cherché, on a

V XT XT ^ ^f^

Si a est > im, x est positif, on s*éloigne de l'ère choisie. Si a est <i bm, x est négatif, on se rapproche de la nouvelle origine; mais la valeur de X reste toujours positive, puisque, par hypothèse, la valeur absolue de x ne peut jamais égaler N. X est seulement plus grand ou plus petit que N, c'est-à-dire que la valeur de x est additive ou soustractive, suivant qu'elle est comptée vers l'avenir ou vers le passé. L'introduction d'une origine fictive montre bien encore, dans ce cas, la dépendance qui existe entre le signe de l'inconnue et le sens dans lequel elle doit être comptée.

Ainsi, lorsqu'il s'agit d'un temps susceptible d'être compté vers l'avenir ou vers le passé, à partir d'un moment donné, l'Jlgèbre indique encore l'opposition de sens par l'opposition de signe.

203. De là une règle fondamentale extrêmement importante, sur laquelle Descartes a fondé sa Géométrie analytique. Lors-

40o A.LGEBCE ÉL£]fE3iT^IR£.

qu'on se trouve dans les conditions indiquées plus haut, le changement de signe correspond au changement de sens, et réciproquement. Cette règle ne peut être directement démontrée; mais elle se vérilie d'une manière constante dans toutes les branches des sciences mathématiques.

204. Si la quantité considérée n'est pas susceptible d'être comptée dans deux sens nettement différents, et si le signe + est affecté au seul sens rationnel, une solution négative correspond à une impossibilité absolue.

Soit, par exemple, le problème suivant : Un chemin de fer prend a francs par tonne transportée et par kilomètre parcouru; on paye en outre par wagon de p kilogrammes un droit fixe de a' francs: à quelle distance peut-on transporter c tonnes pour A francs ?

Appelons x la distance cherchée. On doit payer d'abord, pour cette distance et pour les c tonnes transportées, une somme acx. De plus, le quotient de c par p indique le nombre de wagons nécessaires au transport, quotient qu'il faut multiplier par le droit fixe a'. On a donc l'équation

On en déduit

acx H — a' = A,

\--af

x=—J^^ ne

Si A est inférieur à - a", la valeur de x est négative et indique

une impossibilité absolue, c'est-à-dire une absurdité dans l'énoncé. En effet, il s'agit d'une dislance parcourue commercialement, et le sens de celle dislance ne peut rien changer aux conditions fixées; le chemin de fer perçoit les mêmes droits, qu'il s'agisse d'un convoi montant ou descendant.

Donner A <C - <z^ c'est donner, pour acquitter la somme due

au chemin de fer, moins qu'il ne faut pour acquitter seulement le droit fixe qui correspond au nombre de wagons demandé : l'absurdité est manifeste.

205. Soit encore celte autre question : Avec du vin à a francs le litre et du vin à b francs le litre y on veut former m litres d'un mélange coûtant c francs le litre.

Si l'on désigne par x eX y les nombres de litres de chaque

espèce qu'on doit mélanger, les équations du problème sont

immédiatement

ax -^ bjr = cm,