X -h jrzn m, d'où

m[c — b] mia — c]

X = — ^ ^ et r = — -^ — ,— •

Si l'on suppose alors a>6 et c>a, la valeur négative de y indique une impossibilité absolue et une absurdité dans les conditions du problème. En effet, le prix c du mélange qu'on veut obtenir doit être nécessairement renfermé entre les prix donnés a et 6.

De rinfini comme solution.

206. Une valeur infinie est, en général, un signe d'impossibilité de satisfaire tant aux équations posées qu'au problème qui en dépend. Ainsi, dans le problème précédent, si l'on suppose a = i et c différent de a, les valeurs de x et de^ se présentent sous forme infinie et correspondent à une impossibilité absolue. En effet, puisque les vins à mélanger coûtent le même prix, leur mélange ne peut admettre un prix différent.

Cependant, il peut arriver que la solution infinie, sans contenir aux équations, soit une réponse très-nette et parfaitement admissible pour le problème à résoudre. C'est ce qui a souvent lieu en Géométrie, où l'état limite d'une grandeur, indiqué par le symbole oo y peut correspondre à une construction particulière et déterminée.

Supposons, par exemple, qu'on veuille mener une tangente commune extérieure à deux circonférences de rayons r et r'.

Soient [fig. 6) 0 et 0' les deux circonférences données, AA' une tangente commune à Fig. 6.

ces circonférences, qui "->-^

vient couper la ligne des /^ ^^^ """■^''~"*#4---^

centres 00' au point C. — l j^ \ ^W^t'^^^^^'" c

Prenonspourinconnue^ V y ^ ^""^

la distance OC.

Si l'on mène les rayons OA et O'A' aux deux points de con-

46^ ALGEBRE ÉLÉMEKTÀIIIB.

tact A et A'y la Géométrie donne immédiatement

OC OA X r

c'est-à-dire

r' x = rx — rd et a: = -, d,

Tant que r est > r', la valeur de x est positive, et le point de rencontre C est à droite du point 0.

Si r est < r', la valeur de x est négative, et le point de rencontre de la tangente commune avec la ligne des centres est à gauche du point 0 (203).

Si Ton a enfin r= r', on trouve a? = oo ; mais, les deux cercles étant alors égaux, la tangente commune ûeyieni parallèle à la ligne des centres. La solution infinie indique donc seulement, dans ce cas, que le point de rencontre C, par exemple, s'éloigne de plus en plus à droite de 00' à mesure que r se rapproche de r' et que, à la limite, pour r= r', ce point de rencontre se transporte à l'infini sur les deux droites OC et AA', devenues parallèles.

De même, lorsqu'on cherche à déterminer un angle analyti* quement et qu'on prend pour inconnue la tangente trigonoraétrique de cet angle, une valeur infinie trouvée pour l'inconnue indique simplement que l'angle demandé est droit {voir la Trigonométrie, 1. 11).

Des solutions indéterminées. 207. Lorsque les valeurs des inconnues d'un problème se présentent sous la forme -9 l'indétermination indiquée par

ces valeurs peut être réelle ou apparente (117). Si elle est réelle, les équations posées rentrent les unes dans les autres; si elle est apparente, on a oublié de supprimer des facteurs communs qui, s'annulant pour l'hypothèse adoptée, masquent des valeurs déterminées.

Reprenons le problème de mélange traité au n" 205. Les valeurs des inconnues ont pour expression

mic^b) m[a^c)

ALGÈBKE ÉLÉMENTÀiaE. 463

Si Ton suppose a = h=zCy on trouve j;r=r-el j = -* L'in-

délerminaiion est ici évidente. Puisque les vins à mélanger ont le même prix, leur mélange peul être effeclué dans toutes les proportions possibles» et son prix reste égal au prix commun des vins mélangés. Quant aux équations du problème, si Ton introduit dans ces équations l'hypothèse « = 6 = c, elles se réduisent toutes deux à :r4-j=/n, c'est-à-dire qu'elles rentrent bien Tune dans l'autre.

208. Soit, au contraire, cet autre exemple : Trouver l'aire d'un trapèze {Jig^']), en le considé-- pig. ^.

rant comme la différence de deux ^^

triangles. . „

Il , N

Soient B et 6 les bases du trapèze, c/ '! i '\ n

H et A les hauteurs des deux triangles / j;" \

dont il est la différence. L'aire cher- / i/ ^\

chee a pour expression a b

(i) S=^(BH-M),

et la Géométrie donne en outre, à cause du parallélisme des bases du trapèze, l'équation de condition

On en déduit

et

On a donc

En substituant ces valeurs dans l'équation (i), on trouve

Si l'on suppose alors B = 6, S se présente sous la forme -> indétermination apparente due à la présence du facteur com-

4^4 ALOÈBUC ÉLéMEJITAimE.

lîiun 'fi — b^ aux deux termes de l'expression considérée. Si on le supprime avant toute hypothèse, on a ensuite, pour

résultat évident, puisque le trapèze devient alors un parallélogramme dont la hauteur est, comme celle du trapèze, H ~A. Remarquons à ce sujet que, pour B= 6, les équations (2) et '3; donnent

ce qui doit être, puisque, à mesure que b tend a devenir égal à B, le côté AC étant supposé Qxe, le sommet commun O des deux triangles OAB, OCD s'éloigne de plus en plus dans la direction AC; mais la différence (H — A}, restant constamment égale à la hauteur du trapèze. Test encore à la limite, quand il se transforme en parallélogramme. C'est là un exemple d'indétermination apparente, relativement au symbole 00 — oc ( 119).

Problème des covniers.

209. Nous allons faire rapplication des notions qui précèdent à la résolution du problème des courriers.

Deux courriers sont en marche sur une même route depuis un temps indéterminé. Ils se trouvent à un même instant, l'un en un point A, l'autre en un point B de cette route i fig, 8). Otî conncdt la distance

Fig. 8.

AB = d, on sait que le premier courrier parcourt p kilomètres par heure^ que le second courrier en parcourt v* dans le même temps. On demande de déterminer l'instant et le lieu de la rencontre des deux courriers.

Supposons qu'on compte les distances en kilomètres à partir du point A, et les temps en heures à partir de l'instant où les deux courriers sont ensemble, l'un au point A, l'autre au point B. Admettons que les deux courriers marchent dans le même sens, de A vers B et au delà de B, et que leur rencontre ait lieu en R, à droite du point A. Désignons AR parx et BR par j; désignons par / le temps pendant lequel ces parcours s'effectuent. Puisque le premier courrier fait v kilomètres par heure, il parcourt en / heures vt kilomètres. On a donc

X — vt.

On trouve de même

Il est évident qu'on a d'ailleurs, d'après Thypothèse admise,

Substituons les valeurs de x et de jr exprimées en fonction de / dans la troisième équation obtenue ; elle devient

d'où

par suite,

vd

Discutons ces valeurs :

I® Si l'on a c > p', ces valeurs sont positives et satisfont à la fois aux équations et au problème. En efiet, le premier courrier marchant plus vite que le second et gagnant sur lui, pour chaque heure écoulée, p — p' kilomètres, finit nécessairement par Tatteindre en un point R situé à droite des deux points  et B où les deux courriers se trouvent simultanément à l'instant considéré.

2** Si l'on a p < (^, les valeurs trouvées sont négatives : elles satisfont nécessairement aux équations. Satisfont-elles au problème? Elles ne satisfont pas évidemment au problème tel qu'il est posé. Si v est <p', le premier courrier marche moins rapidement que le second : l'avance que le second a déjà sur lui s'accroît, pour chaque heure écoulée, de p'— p kilomètres ; les deux courriers ne peuvent donc jamais se rencontrer à droite) du point  et à partir de l'instant considéré. Mais on remarque que Ki distance du point de rencontre R aux points A et B est susceptible d'être comptée à droite ou à gauche de ces points, que l'instant de la rencontre peut de môme être postérieur ou antérieur à Tinstanl considéré. Les valeurs négatives trouvées doivent donc indiquer une distance mesurée à gauche du point  ou du point B [Jig. 9), un temps compté vers le

Fig. 9.

R ^ rf B

passé. C'est ce que nous allons vérifier, en remettant le problème en équation dans celte nouvelle hypothèse. En conservant les mêmes notations, on a, dans ce cas,

Db C. — Cours, I. 3o

466 ALGÈBRE éLÉMENTÀIIlE.

Si Ton compare ce système au précédent, on voit que les deux systèmes ne difièrent que par le changement de signe des inconnues ; en changeant jr en — x,^ en — jr^ i en — i, dans le premier système, on reproduit le second. Les valeurs négatives qui satisfont au premier système trouvé satisfont donc au second système lorsqu'on les prend positivement (199), c'est-à-dire qu'il y a bien eu une rencontre à gauche du point A et avant l'instant considéré.

Il est, en général, inutile de faire la vériQcation indiquée dans les cas analogues à celui que nous venons de traiter. // suffit de s'assurer que les cîuingements de sens supposes ne font varier, dans les équations obtenues , que les signes des inconnues correspondantes, pour pouvoir interpréter immédiatement les solutions négatives.

V" Si Ton a p = p', les valeurs trouvées se présentent toutes les trois

sous la forme — • Si Ton considère alors les conditions du problème, on

voit qu'il ne peut exister aucune réponse à la question ; car les deux courriers, marchant aussi vite l'un que l'autre, seront toujours et ont toujours été séparés par la distance d. Leur rencontre n'a donc jamais eu lieu et ne sera jamais possible.

4"^ Si l'on a à la fois (^ = t^' et </ = o, les valeurs trouvées se présentent

toutes les trois sous la forme -• Si l'on considère alors les conditions du

problème, on voit que la réponse à la question est complètement arbi* traire ou indéterminée; car les deux courriers, marchant aussi vite l'un que l'autre et se trouvant ensemble au point A, ont toujours été et seroiU toujours ensemble, de sorte que leur rencontre a lieu en un point quelconque et à un instant quelconque.

210. Si les cas particuliers qiCon veut examiner ne diffèrent les uns des autres que par le changement de sens de certaines données, il suffit de trouver les formules qui résolvent un seul cas. En y cJtangeant ensuite les signes des quantités qui changent de sens, on obtient les formules qui conviennent aux cas caractérisés par ces variations. Seulement, lorsque les valeurs des inconnues changent de signe, il faut les porter en sens contraire.

Reprenons le problème précédent, et admettons que les distances positives correspondent toujours à la droite des points A et B, et les temps positifs à l'avenir.

Si l'on suppose que les deux courriers marchent dans le même sens en se dirigeant de B vers A et au delà de A (Jîg, lo], au lieu de se diriger

Fig. 10.

de A vers B, ou doit, dans les premières formules, changer p en — » et

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 4^7

ff* en — p'; d conserve son signe. On obtient

fl

-vd

Si «^ est > p, /est positifs x et jr ont des valeurs négatiçes: la rencontre a lieu après l'instant considéré et à gauche du point A.

Si p' est < p, r est négatif, .r et^ont des valeurs positives: la rencontre a lieu avant l'instant considéré et à droite du point A.

C'est ce qu'on peut facilement vérifier en traitant directement la question.

Admettons, en dernier lieu, que les deux courriers marchent en sens contraires, le premier de A vers B, le second de B vers A (fig*i^)* On

Fig. II.

doit, dans les formules initiales, changer le signe é^v'\deXv conservent

les mêmes signes. Il vient

vd^

tetjc sont positifs, x ^^ négatif. La rencontre a toujours lieu après l'instant considéré, à droite du point A, à gauche du point B. Si les deux courriers marchent en sens contraires {J!g. 12), mais en se

tournant le dos à partir des points A et B, c'est-à-dire si le premier courrier marche dans le sens de B vers A et le second dans le sens de A vers B, c'est le signe de » qu'on doit changer. On obtient

— vd __ ^^

'~ — (v-h v') ~" v-hv'^

468 ALGEBRE ÉLéMEUrTAIRE.

t eif sont toujours négatifs, jc toujours positif : la rencontre a toujours lieu avant Tinstant considéré, à gauche du point B et à droite du point Â. Les derniers résultats énoncés sont évidents.

Résumé.

211. i"" Les solutions positives répondent généralement à la question, si le problème a été complètement mis en équations, c'est-à-dire si cette mise en équations renferme toutes les conditions de renoncé,

2® Les solutions négatives indiquent généralement un changement de direction, de la droite vers la gauche ou de l'avenir vers le passé, lorsque les quantités considérées sont susceptibles d'une opposition parfaitement tranchée, comme dans les exemples qui précèdent.

3® Les solutions négatives indiquent une impossibilité absolue et un vice dans renoncé, lorsque les quantités considérées ne sont pas susceptibles d'un changement de sens,

4^ Le symbole — correspond à une impossibilité absolue et

indique un vice dans l'énoncé, à moins qu'il ne soit l'expression d'un état géométrique particulier (206).

5** Le symbole - correspond à une indétermination complète, si aucun facteur commun n'a été oublié (207).

6^ Enfin, un problème ayant été résolu dans une certaine hypothèse, la formule trouvée permet de résoudre immédiatement les autres cas particuliers du même problème, lorsqu'ils ne diffèrent du premier cas résolu que par le changement de sens de certaines données : on n'a qu'à changer dans la formule obtenue les signes des quantités qui changent de sens. Si l'on trouve alors pour les inconnues des valeurs ayant des signes différents de ceux qui les affectaient d 'abord, il faut compter ces valeurs en sens contraire du sens d'abord adopté, pourvu que ce changement de direction soit compatible avec la nature des grandeurs considérées (203, 20&).

212, Au sujet de celle dernière règle (6*), une réserve est nécessaire. Pour qu'une solution négative s'interprète par un simple changement de sens> il faut non-seulement que ce changement de sens soit compatible avec la nature des gran-

deurs considérées, mais encore qu'il n'entraîne en réalité dans les équations du problème, que le changement de signe de chacun des termes renfermant l'inconnue négative. C'est là une vérification à laquelle on doit s'astreindre, ju.squ a ce que l'habitude permette de la faire instantanément. C'est surtout lorsque la question traitée comporte plusieurs origines distinctes que la remarque que nous venons de faire a toute son importance.

213. Quel que soit le nombre des inconnues d'un problème et quelle que soit la simplicité des relations qui peuvent exister entre quelques-unes d'entre elles, il faut se garder, en général, de faire l'élimination de tète» de manière à réduire immédiatement le nombre des inconnues et des équations. Le calcul n'en est presque pas plus simple, les erreurs sont plus faciles à commettre, et c'est là une raison décisive pour ne pas employer cette simplification; la discussion du problème devient souvent plus obscure et plus pénible à cause des équations et des inconnues supprimées.

47^ ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.