THÉORIE DES INÉGALITÉS

Principes généranx relatifs aux inégalités.

214. On dit que la quantité A est plus grande que la quantité B, lorsque la différence de ces deux quantités est positive. Dans le cas contraire, la quantité A est plus petite que la quantité B.

11 résulte de cette définition que toute quantité positive est plus grande que zéro, que toute quantité négative est plus petite que zéro^ et d'autant plus petite qu elle est plus grande en valeur absolue.

Ainsi l'on a5>o; — 3<o; — 3>> — 7, parce que

Nous allons parcourir les principes généraux auxquels le calcul des inégalités se trouve soumis.

215. I. On peut ajouter ou retrancher une même quantité aux deux membres d 'une inégalité, sans en changer le sens.

Si Ton a A > B, on a

car^ si la différence A — B est positive > il en est de même d( la différence (A -t-m) — - (B-hm).

II. On peut multiplier ou diviser les deux membres d'une inégalité par une quantité positive, sans en changer le sens. Si l'on a A > B, on a

Am> B/7i, m étant une quantité positive. En effet, si l'on a A — B>o,

on a aussi

(A — B)m ou Am — B/n^-o,

puisqu'on ne change pas le signe d'une quantité en la multipliant par une quantité positive.

Le cas de la multiplication renferme celui de la division:

multiplier par - revient à diviser parp,

III. Si l'on multiplie ou si Von divise les deux membres d'une inégalité par une quantité négative^ il faut renverser le sens de r inégalité.

Si l'on a A — B >> o et si m est une quantité négative, on a

parce que le produit (A — B)/n aun signe contraire à celui de A — B.

216. IV. On peut ajouter membre à membre deux inégalités de même sens, on ne peut pas les retrancher*

Si Ton a A > B et C > D, on en déduit

A-f-C>B-hD; car on a

A — B>o et C — D>o,

d'où

c'est-à-dire

(A-hC) — (B-t-D)>o.

Si l'on retranche membre à membre les deux inégalités proposées, il faut, pour savoir le sens de l'inégalité résultante, opérer sur un exemple numérique. On ne sait pas d'avance dans quel rapport la différence A — C peut être avec la différence B — D.

V. On peut retrancher membre à membre deux inégalités de sens contraire, on ne peut pas les ajouter. Si l'on a A>B etC<D, on a