Soit l'équation générale du second degré
ax* -h 6x -H c = o,
dont les racines ont pour expression
ia
La quantité 6' — ^ac^ placée sous le radical de la valeur de x, peut être positive, négative ou nulle» De là, trois cas à distinguer.
236. Premier cas. — Si Ton a 6*— 4^^> o, les racines de l'équation sont réelles et inégales [les quantités positives et négatives constituent les quantités algébriques réelles par opposition aux quantités imaginaires (70-223, loi^)].
Le premier membre de inéquation équivaut, dans ce cas, à la différence de deux carrés.
En effet, puisque &'— ^ac est une quantité positive, on peut poser b* — ^ac = k*, en désignant par /r une quantité réelle dont le carré sera nécessairement positif. On a alors, en se reportant au n*" 232,
4fl*^* 4- ^abx -h 6' = 6* — 4^^ = f^*9
c'est-à-dire
[^ax -h by — /f' = o.
237. Deuxième cas. — Si l'on a b^-^ ^ac <^o, les racines de l'équation sont imaginaires (70-223, lo**).
Le premier membre de l'équation équivaut, dans ce cas, à la somme de deux carrés.
En effet, puisque b*—^ac est une quantité négative, on peut poser 6'— ^ac = — h^, en désignant par k une quantité réelle dont le carré sera nécessairement positif. On a alors, en se
ALGÈBRE ÉLÉME» TAIRE. 4H.9
reportant au n** 232,
^a^x^-h^abx -h b^z= b^-^ ^ac = — h\
c'est-à-dire
Le premier membre de l'équation, étant la somme de deux carrés, reste positif pour toutes les valeurs réelles de x; par conséquent, aucune valeur réelle de x ne peut l'annuler, el l'Algèbre doit répondre par des racines imaginaires.
Le calcul des expressions imaginaires est soumis, comme nous l'expliquerons plus tard en délail [voir V Algèbre supé" rienre)y aux mêmes règles que celui des quantités réelles (223, lo""). On admet donc, en particulier, que l'expression
V'— 1 élevée au carré donne pour résultat — i, et que, pour extraire la racine carrée d'un produit, il suffît d'extraire la racine de chaque facteur, qu'il soit positif ou négatif. Les racines de l'équation étant ici
— 6 ifc Jb' — ^ac ^b±)J^ /i>
on peut écrire, d'après ce qui précède (223, lo*"],
par suite
-b±ki X = •
Si l'on pose = a, — = (3, a et ^ étant des quantités
réelles, on a finalement
Telle est la forme générale des expressions imaginaires auxquelles la résolution des équations du second degré à une inconnue donne naissance dans l'hypothèse de b^— ^ac<^o.
On traite dans les calculs le symbole i = y/— i comme une lettre ordinaire, à la seule condition de remplacer l'par — i.
On peut vérifier alors que, dans le cas considéré, les valeurs imaginaires de l'inconnue annulent le premier membre de l'équation, c'est-à-dire satisfont bien à celte équation.
4()<> ALGEBRE ÉLÉMEfîTAIRE.
238. Troisième cas. — Si l'on a 6' — ^ac^^o^ les racines de l'équation sont réelles et égales. Elles se réduisent toutes
deux, d'après la formule (i), à •
Le premier membre de l'équation équivaut, dans ce cas, à un carré parfait.
£n effet, on a alors, en se reportant au n? 232,
4a* or* H- ^aba: + 6*= 6' — J^ac = o,
c'est-à-dire
[lax -\- by =zo.
239. En résumé, toute équation du second degré de la forme ax* -h bx -h c = o admet deux racines qui sont réelles et inégales, imaginaires ou réelles et égales, suivant que la qucuitité caractéristique b* — ^ac est positive, négative ou nulle, c'est-à-dire suivant que le premier membre de Véqua* tion est la différence de deux carrés, la somme de deux carrés ou un carré parfait»
Applications.
