i^ Soit proposé de résoudre l'équation
u -h b a — b 3 X — a X — ib a
Chassons les dénominateurs, en ayant soin de conserver à part le dénominateur commun 2(x — fl)(j: — 3ô). Il vient
2(«-+-i») (jT — 3^) -H2(fl — ô) (x — «) = 3{x — a)(.r — 3^),
lax -t- 'i.bx — ^ab — 66* H- lax — ibx — afl'-H 'kab
= 3x^'^Sax — gbx-hQab.
En simpliûant et en ramenant l'équation à la forme générale, on a
3x* — (ya-+-^b) x-i-^ia* -h i3ab -t- 6b^ = o^ d'où
En effectuant les calculs sous le radical, on trouve
ya -i- ob dzi/a5û* — 3ofl6-l- 9^*
ALGÈB&E ÉLÉMENTAIRE. 49 ^
La quantité placée sous le radical étant le carré du binôme 5a — 36, on a en6n
En séparant les racines, on peut écrire
af = 2a-h ùj jr = — - — .
Ces valeurs n'annulent pas le dénominateur commun supprimé
a(ar — fl)(x — 36),
elles vérifient d'ailleurs l'équation proposée : ce sont donc les racines cherchées (i 21).
a** Soit proposé de résoudre l'équation
^a -hx = I H- v/6 -+- Jî,
et d'appliquer la formule aux données
Quand une équation renferme des radicaux du second degré, elle peut être ramenée à la forme générale ax* -t- 6x + c = o par des élévations successives au carré ; mais ces élévations pouvant augmenter le nombre des racines (104), il faut avoir soin de vérifier les résultats obtenus.
Pour faire disparaître les radicaux, il faut ici élever deux fois de suite au carré. On obtient d'abord
d'où
n^b -+- X = Or- b^ I.
En élevant encore au carré, il vient
d'où
[a^b^iY^^b
Comme nous avons élevé au carré, la racine trouvée peut ne pas satisfaire à l'équation proposée. Vérifions cette racine. Si on la substitue à la place de x dans l'équation, on a
/ (fl — 6-1)*— 46 r (a — b — xY^Jh
49^ ALGÈBRE ÉLÉIIENTAIIIB.
Le premier radical revient à
lia — ^b -^^ \a — b — \]'^ , ITCâ
Si Ton considère (/? — 6 — i)' comme le carré du binôme (a — ^) —i, 11 vient
La quantité placée sous le radical représente le carré de-— ^ »
c'est-à-dire que ce radical équivaut à la fraction ; • Le second
radical \/à -h j— ^ ^ n'est évidemment autre cbose que )a
fraction • On doit donc avoir
a — ô-hî a — A — I
égalité évidente.
Si Ton fait dans la formule générale a = 7 et 6 = a, la valeur particu* lière de x est
Substituée dans Péquation
/7-h.r =s I H- /a-f- x, elle donne Tidentité
3* Résoudre ^équation
(jr'-+-ax — 35) (a:* — j* — 6) =0.
Il suffit évidemment de poser successivement
x' ■+■ ax — 35 = G et x* — x — 6 = o.
La première équation donne
X = - 1 dt /TT^ = - 1 ± 6, d'où I "^1 ^ ^ ^
La seconde équation donne à son tour
x = = > d'où \ ,
Les quatre racines cherchées sont 5, — 7, 3, — a.
4* Résoudre ^équation
v/x-+- 5-+- ^ix-^% = 7,
£n élevant une première fois au carré, on trouve
