I-I2XH- x'= 84 H
d'où
494 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
On en déduit
jr = — 4 ± /164-48 = — 4 ± 8.
On a donc
j:'= 4 et x* = — la.
La première valeur substituée dans Téquation donne
v/36 = v/âS -f-i.
La seconde conduit à
La première vérifie Téquation telle qu'elle est posée; la seconde ne la vérifie que si Ton peut prendre les deux radicaux avec le signe—. 6* Résoudre l'équation
v/14 -*-^ -I- v^5 -H a X == I, En élevant au carré, on a
i4-+- -r H- a v/(i4 H- j:) (5-f- *kx) -h 5-1- aj? = d'où
av^(i4 -+-x) (Sn-aj:) = — 18— Sx.
En élevant une seconde fois au carré, il vient
4(i4 + x) (5 -♦- ajc) = (18 -♦- 3j?)',
c'est-à-dire
JT* — a4 X + 44 = o.
On en déduit
X = la ± ^144 — 44 = la ± 10.
On a donc
x* = aa et x* » a.
La vérification donne
c'est-à-dire qu'aucune des racines trouvées ne satisfait. Pour qu'il y ait vérification, il faut qu'on puisse prendre d'abord le premier radical avec le signe — et le second avec le signe -h ; puis, faire l'inverse.
Cas particnlier où le coefficient a est égal à zéro.
241. Si l'on suppose a = o, l'équation générale s'abaisse au premier degré et devient
6j;-hc=o, d'où a: = — t*
Si l'on introduit la même condition dans la formule générale
ALGEBRE ÉLÉMENTiiaE. 49^
de résolution, on trouve
Les deux racines se présentent donc alors sous la forme
or =-9 x^=z = 00.
Comme la formule générale a été obtenue en supposant expressément a différent de zéro, il pourrait se faire que Taccord cessât d'exister entre les résultats fournis par l'équation ellemême et ceux déduits de la formule; mais nous allons voir que cet accord se maintient» même dans l'hypothèse extrême que nous considérons.
En effeti avant toute supposition sur la valeur de a, on a
— 64- Jà* — ^ac
Multiplions les deux termes de cette expression par la différence — 6 — ^b*^^ac. On trouve alors
(-- 6 -h )/b* — 4atf ) (— fr ~ ^6» — 4 âc)
tff -. ~r •
2a( — b — ^6»— ^ac) c'est-à-dire, en effectuant et en simplifiant.
ar =1
^^ai^b-^^b^—^ac) —6 — >/b' — 4
ac
On voit que le facteur commun na disparaît. C'est ce facteur qui, en devenant nul, réduisait à zéro les deux termes de la valeur de x'. Si l'on fait maintenant a = o, on obtient, pour vraie valeur (117) de x',
ac c
C'est la racine fournie par l'équation 60; -f- c = o.
Quant à la seconde racine x^^ qui, d'après la formule générale, se présente sous forme infinie, son existence dépend du théorème suivant : Toutes les fois que, dans une équation algébrique, les premiers termes disparaissent successivement
49^ ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
et par ordre^ à chaque terme disparu correspond une racine injinie»
Posons, par. exemple, en nous bornant à l'équation du second degré, j:=: -• L'équation ax^-^ 6a; -h c=:o devient
yt y.
ouy en chassant les dénominateurs.
Pour a = Oy cette équation se réduit à
c)'-^ br=:.Oy d*où j'=— - et y*r=o.
Par suite, l'équation en x admet alors pour racines, en venu de la relation a; = -,
Si l'on supposait à la fois a = o et 6=o, on aurait 0^-^ = 0. d'où y = 7^= o et, par suite, a7'=jc*'=oo.
