ox -h

La somme de ses racines est égale à et leur produit à -•

Soit réquation

x^ — Zx — 5 = 0.

La somme de ses racines est égale à 3 et leur produit à — 5.

2th3. Ce qui précède permet de résoudre immédiatement cette question : Trouver deux nombres dont la somme et le produit soient donnés.

Si la somme donnée est S et le produit donné P, les deux nombres cherchés sont les racines de Téquation

X* — Sa: -i- P = o, puisqu'on a, en désignant ces racines par x' et x"^

On peut facilement vérifier ce théorème usuel. Si Ton appelle X Tun des deux nombres demandés, l'autre est S — o:, et l'on

doit avoir

d'où

Sjt — ar'=P ou a:» — Sa: -h P = o,

X représentant l'un quelconque des deux nombres, les racines

de celte équation sont les deux nombres cherchés.

Trouver deux nombres dont la somme soit i5 et le produit 56.

On a

x>— iSa: 4- 56 = o,

d'où

i5±:^a25 — 224 i5dri

c'est-à-dire

^kk. On peut encore, d'après ce qui précède, indiquer la nature des racines d'une équation du second degré sans la

résoudre. Prenons réquailon sous la {otvcïq ax^ -h hx -\- c =:o^ ei remarquons qu'il est toujours permis de supposer a positif (*). Nous distinguerons trois cas :

1* Si c est positif y le terme — ^ac^ placé sous le radical dans

la formule générale x= -^~ » est négatif. On ne

peut donc savoir d'avance la nature des racines qu'en formant la quantité ft'— ^ac.

Si Ton a 6*— 4«c<o, les racines sont imaginaires; aucune recherche ultérieure n'est nécessaire.

Si l'on a ft' — 4^^ = o> 'es racines sont réelles et égales.

On a immédiatement r = 5 puisque le radical s'annule.

D'ailleurs^ les deux racines étant égales, chacune d'elles est la

moitié de leur somme •

Si l'on a b^ — ^ac'> Oy les deux racines sont réelles et inégales. Elles sont de même signe, puisque leur produit - est

positif. Leur somme étant 9 elles sont positives si h est

négatif, négatives si b est positif, c'est-à-dire qu*elles sont do signe contraire à 6.

2" Si e est négatif le terme —^ac^ placé sous le radical

de la formule générale x = — » est positif; la

quantité placée sous le radical est alors toujours positive, c'est-

à-dire que les racines sont toujours réelles. Leur produit -

étant négatif, elles sont de signes contraires : Tune est positive, l'autre est négative; la plus grande des deux en valeur absolue donne son signe à la somme des racines, c'est-à-dire qu'elle

est de signe contraire à 6, puisque cette somme est •

3« Si c est nul, le terme — 4«c s'évanouit, et l'on a

{*) Si a était négatif, on n'aurait qu'à changer les signes des deux memhrec de Téquation.

5oO ALGÊORE ÉLÉMEKTAIRE.

L'une des racines est nulle, l'autre est • En effet, le nro-

duit des racines étant nul sans que leur somme le soit. Tune dVIIes est nulle et l'autre est égale à leur somme. C'est encore ce qu'indique immédiatement l'équation

« ar* -h h X = o,

d*oii l'on déduit

j:[ax H- fc) =0.

En résumé, les racines de l'équation sont réelles et inégales dans deux cas : si c est positif et qu'on ait A' — ^ac^o, ces racines réelles sont toutes deux de signe contraire à b; sic e$t négatif, les racines, toujours réelles, sont désignes contraires^ et la plus grande en valeur absolue est de signe contraii^ à b. Soit l'équation

On a ici

les racines sont imaginaires.

Soit l'équation

On a

Les racines sont toutes deux égales à — j ou a i.

Soit l'équation

Sx* — iZx -+-8 = 0.

On a

Les racines sont réelles et inégales. Elles sont toutes deux positives.

Soit l'équation

c est négatif; les racines sont nécessairement réelles. Elles sont de signes contraires : la plus grande est positive, parce que b est négatif*

algebue élémejntairb. 5i i

Condition pour qne Téquation du second degré ait ses denz racines égales et de signes contraires.