Soient les deux équations

ax^ H- 6x H- c = G, a'x^ -\- b'x -f- </= o.

Si xf désigne une racine commune à ces deux équations^ on doit avoir à la fois

ax'^ H- bx' -^ c = o, aV-f-6V4-6'==:o,

d*oii l'on déduit, en retranchant ces deux égalités membre à membre après les avoir multipliées respectivement par a' ei para»

[aV — ba')x' H- a& — ea'= o.

On a donc, pour l'expression de la racine commune en fonction des coefQcients des deux équations données»

- ca! — ac'

ab'--bd*

Ces deux équations devant élre saiisfaites simultanément par x-=ix\ on obtient la condition cherchée en remplaçant dans Tune d'elles x par x*. On a, par conséquent,

( ca' — ac'Y - en' — ac' ,ah —ha'V ab' ^ ba'

ce qu'on peut écrire, en chassant les dénominateurs, a[ac' — ca')^'^ blca' -- ac') (ab' — ba') -i- c( ab' — ba'^=o

ou

a{ac'^ca'Y={ab''-ba')[b{ac''^C(^)^c[ab'-^ba')].

Si Ton simplifie dans le second membre et si Ton supprime le facteur commun a qui apparaît alors, l'équation de condition demandée est finalement

[ac' — ca Y =[ab'-- ba' ) ( bc' — cb').

En écrivant les coefficients des équations données sur deux lignes horizontales, en les multipliant ensuite en croix-eten séparant les produits obtenus par le signe — , on a les trois binômes afc'— W, bd — cb', ac' ^ ca\ On peut donc énoncer la condition trouvée en disant que le carré du dernier binôme doit être égal au produit des deux autres.

Condition ponr qne deux équations du second degré aient

les mêmes racines.

2^7. Soient les deux équations

ax^-\- bx-h c = o, a'x*-^' 6'^-t-c'=o,

qui ont les mêmes racines x' et x". On a alors à la fois (242)

On en déduit immédiatement

Pour que deux équations du second degré aient les mêmes racines, il faut donc et il suffit que les coefficients des deux équations soient proportionnels.

▲LGÈBEE ÉLÉMEUTAIIIE. 5o3

Sonunes des puissances semblables des racines d'une équation

dn second degré.

248. Nous nous proposons d'établir la formule générale qui permet d'obtenir la somme de deux puissances semblables quelconques des racines de l'équation du second degré. Mettons cette équation sous la forme

En multipliant les deux membres par a:^"', on obtient

réquation ainsi transformée doit être encore satisfaite pour x = x' et X = x", en désignant ainsi les racines de Téquation donnée. On a donc

fi a

En ajoutant ces deux relations, et en isolant la somme af^^x""^ dans le premier membre de Tégalité résultante, on a

C'est la formule demandée : deux sommes consécutives étant connues, elle détermine la somme suivante. Or,

x'* -k- x"* = 1 et x' -^-x" = .

Par conséquent, en remplaçant m par les valeurs a, 3, 4, 5, ..., on obtient

,2 -- 0* ar /;' — T^ac fr a ir

,. j,. ù b^ — lac bc —b^ -h Zrtbc

a or a* a^

M ff4 b — /;' '+-^nbc c b^^iar b^ — A nb^c -f- 'in^c' .r -H X ' = . = ,

,. „, h b* — i (dPc -h la^c^ r — 6* -H '^abc

—b^-h- f) (ib^ r — 5 <'/' bc^

5o4 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

Décomposition d'mi trinôme dn second degré en factenn

du premier degré.