Soit un trinôme du second degré
ax* -H bx -f- c.
X peut recevoir dans ce trinôme toutes les valeurs possibles. Si on régale à zéro, il en résulte pour x deux valeurs spéciales x' et x'y racines de l'équation ax^ '\-bx-¥c^=.Oy et l'on a (242)
ar'-f-ar^rzz 9 x' x" ^=^ -•
Si l'on met le trinôme donné sous la forme
ax^
b c et si l'on remplace les quotients - et - par les expressions
équivalentes — {x' -^x") et x^x", on obtient évidemment un trinôme identique au proposé, dans lequel x peut de nouveau recevoir toutes les valeurs possibles. Ainsi,
ax^ -*- 6j; -f- c = «[ar'— [x' -i- x*')x -{- x'x'^].
Mais
On a donc finalement V identité
ax^ -+-é:r -+-<? = a[x — x'] [x — .r"),
et l'on parvient à ce théorème dont l'usage est continuel :
Tout trinôme du second degré de la forme ax^ -h 6 j: -f- c équivaut au produit du coefficient de son premier terme par deux facteurs du premier degré, obtenus en retranchant respectivement de la variable x chacune des racines j/ et x" qu'on trouve en égalant le trinôme à zéro.
Si l'on demande de transformer le trinôme 2a:'-+-5x— 63,
ÂLGÊDRE ÉLÉHEMTÀIllB. Do5
on pose
2JC* -f- Sx — 63 = o,
Par suite»
aa:'-f-5 jc — 63 = i{x — ^,5) (j?-+-7),
quel que soît/r.
De mèmey si l'on demande de transformer le trinôme
X* — Si: -f 6,
on pose
d'où
5±v/25 — 24 5=fri i x' =3,
a? = ï ^ = et ] ^
Par suite,
quel que soit or.
250. Le théorème précédent est si important, que nous en donnerons une seconde démonsiration directe. Soit le trinôme ax^ + ia: + c. On a identiquement
ax* -h bx -^ c =^ a i x^ H- -j?-+-- )•
On ne change rien à la quantité renfermée entre parenthèses,
en l'augmentant et en la diminuant à la fois du terme -r-;" On
4« a alors
ou
ax
mais x^ -\ — X -h 7—: représente le carre nu binôme x '\ >
Cl la différence TT— est le carré dei/ , , ^^* On peut
5o6 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
donc crrîre
ax^
La différence des deux carrés renfermés entre parenthèses peut être remplacée par le produit de la somme de leurs racines par la différence de ces mêmes racines; d'où
ax^
bx '^c = a [x -\ ^-\/7— :
(x A- /lEZ/i\
Mais, si l'on se souvient que l'équation
ax^ -hbx -^ c =zo ou a:'-4--a?-h-=o
a précisément pour racines
x' = ^-\/>-, et x''=: V//-; »
la V 4^ ^ 2a V 4û a
on a en réalité, comme précédemment,
nx^ -4- bx -^ c ^=z a[x — x') [x — x")*
251. Appliquons directement au trinôme ax^-^bx -h c les considérations déjà développées (236, 237,238)» et considérons l'expression qu'on vient d'établir
ax^
Vf by [ 6> cV]
L\ aa/ \4a' fl/j
ou
(.) ax^^bx^c=aY[x-^ — yi ^^J-
Si l'on a 6' — 4«^><^> c'est-à-dire si les racines x' et x" du trinôme égalé à zéro sont réelles et inégales, on peut poser 6' — 4^^ = K.*, et regarder la parenthèse du second membre comme la différence de deux carrés.
Donc, lorsque les racines du trinôme ax^ -4- 6^ + c égale à zéro sont réelles et inégales, on peut regarder ce trinôme comme le produit de son coefficient a par la différence de deux carrés»
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHE. So^
Si Ton a 6» — ^ac<C.o, c'est-à-dire si les racines a/ el ar* du trinôme égalé à zéro sont imaginaires, on peut poser
A' — 4ac = — K»,
et regarder la parenthèse du second membre de l'identité (i) comme la somme de deux carrés*
Donc, lorsque les racines du trinôme ax* -f- 6a: -f- c, égalé à zéro, sont imaginaires, on peut regarder ce trinôme comme le produit de son coefficient a par la somme de deux carrés,
Enfîn, si l'on a 6* — ^ac = o, c'est-à-dire si les racines x* et x^ du trinôme égalé à zéro se confondent, la parenthèse du second membre de l'identité (i) se réduit à un carré parfait.
Donc, lorsque les racines du trinôme ax* -^ bx ~h c^ égalé à zérOy sont réelles et égales^ on peut regarder ce trinôme comme le produit de son coefficient a par un carré parfait.
En résumé, suivant qu'on a fc' — 4tfc>o, 6*— 4^^<o» é» — 4«^ = o, on peut écrire
«x'-+- bx H-
''=4("^ ^y~ êj " "^"^ ~ ^^ ^' ~ *"''
aa:*-+-6a:-f-c = 6t (a:H ) +7—;
ax^
bx-^c^^aix A ) <
Conséquence.
252. Il résulte des différentes formes que nous venons d'indiquer (251 ) que le trinôme ax* -\- bx -\- c conserve le même signe que a pour toutes les valeurs de la variable x, depuis — 00 jusqu'à H- 00 , lorsque les racines x' et x" de ce trinôme égalé à zéro sont imaginaires ou bien réelles et égales.
Quand les racines x' et x" sont réelles et inégales, le trinôme conserve le signe de a pour toutes les valeurs de x qui ne sont pas comprises entre x' eix", c'est-à-dire qui sont extérieures aux racines; car, alors, les deux facteurs [x — x') el [x — x") sont de même signe et leur produit est positif. Le trinôme est de signe contraire à a pour toutes les valeurs de X comprises entre x' et x^^ c'est-à-dire qui sont intérieures aux racines; car, alors, les deux facteurs [x — a:') et (j:— x") sont de signes contraires» et leur produit est négatif.
^oS ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
En résumé» le signe du trinôme est toujours celui du coefficient a, excepté dans un seul cas : celui où, les racines du trinôme égalé à zéro étant réelles et inégales, on donne à x des valeurs comprises entre ces deux racines»
Inégalités da second degré.
253. La forme la plus générale d'une inégalité du second degré est la suivante :
ax* -^ bx-^c^o ou ax^ '\- bx -{- c<^o.
On peut toujours supposer a positif. Si ce coefGcient était négatif, on multiplierait par— i les deux membres de l'inégalité et Ton en renverserait le sens (215, III).
I" Si les racines de Téqualion ax^ -f- 6ar -h c = o, obtenue en égalant le premier membre de l'inégalité à zéro, sont imaginaires ou bien si elles sont réelles et égales, les valeurs du trinôme sont toujours de même signe que a (252), par conséquent toujours positives. On satisfait alors nécessairement
à la relation
ax^ -*- 6ar H- c > o,
en donnant à x une valeur réelle quelconque; mais on ne peut jamais satisfaire à la relation
ax^ -4- bx -h c < o.
2*^ Si les racines x* et x" de l'équation ax^ -h bx -^ c = o sont réelles et inégales, on peut satisfaire à la relation
ax^ -f- 6 j: -h c? > o,
en donnant à x toutes les valeurs réelles extérieures aux racines; mais X ne peut recevoir aucune valeur intérieure taux racines (252).
En désignant par x' la plus grande des deux racines x' et x'^y on doit donc avoir, dans l'hypothèse considérée»
:r > ^' ou x<^ ^' •
Par conséquent, x' est alors un minimum de x (220), pour les valeurs de jr qui vont en croissant de â;' à H- oo , et a:' est un maximum de x pour les valeurs décroissantes de x, depuis jt* jusqu'à — 00 . Il y a discontinuité pour les valeurs possibles de X, de x" à x".
ALGÈBRE élémentaihe. 'Jog
Si Ton veut, au contraire, satisfaire à Tinégalité
a a:* H- 6jf -f- c<^o,
on ne peut donner à x que des valeurs comprises entre les deux racines (252), de sorte qu'on doit avoir
Par conséquent, x' est alors un minimum de x et x' un maximum de X, pour la série croissante continue des valeurs possibles de X, qui va de ar* à x'.
254. En résumé et a étant supposé positif, on peut toujours satisfaire à r inégalité ax* ~h bx -h €"^0 : i^ en donnant à x une valeur réelle quelconque, lorsque les racines de l'équation a.r*-f-fca:H-c=o sont réelles et égales ou imaginaires; 2" en donnant à x une valeur réelle quelconque, pourvu qu'elle ne soit pas comprise entre les deux racines, dans le cas où ces dernières sont réelles et inégales.
On ne peut satisfaire à l'inégalité ax^ H- 6a? -f- c<o que dans le cas où les racines de l'équation ax^~¥- bx -h 0 = 0 sont réelles et inégales, et alors il faut que la valeur réelle donnée à X soit comprise entre ces deux racines.
Si a était négatif, il suffirait d'appliquer ce qu'on vient de dire pour l'inégalité ax* H- 6a: 4- c < o à l'inégalité
ax^ -+■ bx -*- c > o, et réciproquement*
