CHAPITRE IV

PROBLÈMES œNDDlSANT A UNE ÉQUATION DU SECOND DEGRÉ

A UNE INCONNUE

Problème de la moyenne et extrême raison.

256. Trouver f sur la droite qui passe par deux points donnés XetBjUn point dont la distance au point X soit moyenne proportionnelle (Arithni,^ 397 ) entre la longueur AB et la distance du point cherché au point B.

Pour mettre le problème en équation, on est obligé d'assigner une position particulière au point cherché. Supposons d'abord ce point, désigné par C, placé entre les , points A et B(^. i3). Posons QA = xei AB = a. Nous aurons, d'après l'énoncé,

d'où

jc* -H ax — tf' = o.

On en déduit

a ^ Ifi^ , a ^ a r:

c'est-à-dire

Le signe h- du radical correspond à une racine positive^ moindre que a

et plus grande que -; il existe donc bien, entre A et B, un point C répon'

dant à la question.

Le signe — du radical correspond à une racine négative ^ plus grande

que — en valeur absolue. Cette racine négative, prise en valeur absolue,

indique nn point C {fig. 1 3 ), placé à gauche du point A, puisque le point C

Fig. i3.

est à droite du même point, et répondant aussi à la question; car renoncé

5ia ALGÈBRE ÉLÉMBKTAIRK.

permet de compter l'inconnue x^ à partir du point Â, à droite ou à gauche de ce point, et TAIgèbre, par Vopposition de signe, indique en général Topposition de sens (211). Cest ce que nous allons vérifier.

Si Ton désigne AC par or, l'équation du problème doit ôtre, pour le point C,

(•2) X* = a {fj-h x).

Or, si l'on compare les équations (i) et (2), on voit qu'elles ne diffèrent que par le changement de ^ en — x] elles admettent donc les mômes racines, changées de signes (199). La racine positive de l'équation (a) est donc bien ÂC comptée vers la gauche^ et sa racine négative est ÂC comptée vers la droite. Les équations (i) et (1) se vérifient ainsi mutuellement, et la première suffît pour trouver les deux solutions du problème. C'est encore le choix de l'origine qui rend possibles les solutions négatives (200 et suiv.). £n effet, si l'on adopte pour origine le point B, les deux solutions BG et BC sont comptées dans le même sens. En posant alors BC = X ou BC' = j:, l'équation du problème prend la forme

(a — xY=ax ou [x — aY = aXy d'où

(3) X*— SûJT-hfl' = 0;

et les racines de cette équation,

-'i^sn-^<^'^>rsi

5a sont toutes deux positives : la première surpasse — f la seconde est

moindre que -•

Il est d'ailleurs impossible qu'aucun point G' placé à droite du point Â, mais au delà du point B [fig, 14 ), puisse répondre à la question. ÂC sur-

Fig. 14.

passant à la fois ÂB et BC' ne peut être moyenne proportionnelle entre les deux distances énoncées. Si l'on pose ÂC = x, l'équation du problème est ici

x'rr a(x— fl),

d'où

et les racines de cette équation sont imaginaires (237).

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 5l3

Si Ton se reporte à l'équation (i), il est très-facile de construire les racines réelles AC et AC. On a, en valeur absolue,

= -^v/f-''' et AC'=f.y^.

Si Ton élève la perpendiculaire BO = - à la droite AB et si l'on joint AO

(fis- 15), la Géométrie donne AO = k/'t -»-«'• En décrivant alors la circonférence OB qui coupe la droite AO et son prolongement en Cj et en C,,

Fig. i5.

on a immédiatement AC = AC, et AC'= AC'i. Deux arcs de cercle déduis dans le sens convenable, du point A comme centre avec les rayons AC, et AC\ , déterminent donc sur la droite donnée les points cherchés C et C Nous remarquerons enfin que le problème de la moyenne et extrême raison, au lieu de se rapporter à une droite, peut être posé relativement à une surface ou à un volume. Les équations et les résultats précédents sont alors immédiatement applicables, à la condition de remplacera et x par l'expression des surfaces ou des volumes correspondants.

Problème dn pnits.

237. Calculer la profondeur d'un puits, connaissant le nombre T tle secondes qui s'est écoulé entre l'instant où l'on a laissé tomber une pierre dans ce puits, et celui où le bruit qu'elle a fait en touchant le fond est revenu frapper l'oreille: on néglige la résistance de l'air.

Représentons par x la profondeur du puits.

Le temps T se décompose en deux périodes : le temps t mis par la pierre à parcourir en descendant l'espace x\ le temps ^'mis par le son à parcourir le même espace en remontant.

La chute d'un corps dans le vide a lieu d'un mouvement uniformément varié, dont Taccélération est représentée par g = 9", 8088. La Mécanique

De C— Cours, I. 33

5l4 ALGÈBRE ÉLÉMEIITÀIRE.

donne donc

d^où

fïx

La vitesse du son dans Tair est constante et égale à 34o mètres par seconde. Si nous la représentons par p, on a donc aussi, d'après la Mécanique,

d'où

II vient par conséquent

d'où

En élevant les deux membres au carré, on trouve

On obtient donc l'équation du second degré

^ V gj

Les racines de cette équation sont réelles (236), car on a

/T i\» T' \'' gj ^

Elles sont donc toutes deux positives, puisque leur produit est égal à

T'p' et leur somme à a f - + - j pMJne seule cependant peut convenir:

le puits n'a pas deux profondeurs différentes. En appliquant la formule générale (232), on a

La première racine surpasse évidemment — » c'est-i-dire cT : c'est donc celle

ALGEBRE ÉLÉMEIfTAlBE. 5^5

racine qu*i) Taut rejeter ; car, en vertu dfd la relation x = ot\ t étant plus petit que T, on a aussi x < c^T. Nous conserverons donc seulement la seconde solution.

Remarquons que nous avons été obligé d'élever au carré l'équation

Nous avons ainsi introduit une solution étrangère (104), celle qui corre&pond à réqualion

La singularité de deux racines positives dont une seule répond à la question se trouve ainsi expliquée.

Problème des lumières.

258. Deux foyers lumineux dUnt ensilés différentes se trouvent en A etenB; trouver, sur la droite qui Joint ces fo)'ers, un point également éclairé par cttacun d'eux.

Représentons par d la distance AB. Désignons par ta et b^ les intensités des deux lumières, c'est-à-dire les quantités de lumière qu'elles envoient au point situé, par rapport à chacune d'elles, à l'unité de distance. La Physique nous apprend que la quantité de lumière émise par un foyer relativement à un point donné varie en raison inverse du carré de la distance de ce point au foyer.

Cela posé, admettons que le point cherché soit en C, entre A et B (fig, i6). Un point situé à l'unité de distance de A reçoit une quantité de

Fig. i6.

ai * 6»

lumière a^ ; s'il est à 2 mètres, il reçoit une quantité de lumière -7- ; à

s mètres, une quantité de lumière — j enfin, à x mètres, en appelant x la

distance AC, la quantité de lumière reçue par le point C est -^ • De même, la distance BC étant égale à «f — x, le point C reçoit du foyer B une quantité de lumière t^--~ — r^- L'équation du problème est donc

x^- [d-^xf

5l6 ALGÈBRB ÉLÉMENT AI HE.

Le plus simple est de déduire iramédiatement de cette relation, en extrayant la racine carrée des deux membres (*),

Supposons «* > Ir, La première racine

indique l'existence d'un point C répondant à la question et compris

entre A et B. En effet, a étant > que b, l'expression 7 tombe entre

I et -• La racine x^ est donc plus petite que d et plus grande que - : le

point C est plus éloigné de A que de B, comme cela doit être. La seconde racine

af=d

indique l'existence d'un point C, toujours placé à droite du point A, mais au delà du point B, et répondant aussi à la question. En effet, l'expression j est positive et plus grande que i, de sorte que ^ surpasse d.

Si l'on a au contraire a^ < 6^ x' tombe entre zéro et - 9 parce que l'expression j tombe entre zéro et - ; ce qui indique l'existence d'un

point C répondant à la question et compris entre A et B, mais plus rapproché du point A que du point B.

La seconde racine x' est alors négative, ce qui indique l'existence d'un point C [Jig, 17] répondant à la question, mais placé à gauche du point A.

FIg 17.

Les points C et C peuvent, dans les deux cas, répondre à la question, parce que l'intensité plus grande de Tune ou de l'autre lumière se trouve compensée par l'accroissement égal à £/ de sa distance au point considéré.

(') Remarquons que, lorsqu'on extrait la racine carrée des deux membres d'une équation, on obtient toutes les combinaisons de signes en plaçant l6 double signe devant un seul des deux membres.

ALGÈBRE ÉLÉMElîTAlRE.

Si l'on a a = &, la première racine x' devient égale à- : Je point C se

trouve à égale distance des deux foyers. La seconde racine s^ se présente

sous la forme — > et est en effet inadmissible; puisque l'intensité des deux

lumières est ia même, aucun point G' ou C, situé à droite ou à gauche des points À et B, ne peut recevoir des foyers placés en ces points la même quantité de lumière.

Enfin, si Ion a en même temps a = 6 et </ = o, on trouve j/ = o et

0:' = -) ce qui correspond bien à Tindétermination complète et évidente

du problème.

Proposons-nous enfin de construire les racines x' et ai' dans Thypothèse de layf^. 16. On a alors

et — = -

d-^ xT

Ëlevons deux perpendiculaires aux extrémités de AB [Jig, 18). Sur la première, prenons, au-dessus de AB, AH = a; sur la seconde, prenons, de

PS» .fi

Fig. 18.

part et d'autre de AB, les longueurs BR = BR'r= b. Les droites HR et IIR' coupent la droite AB et son prolongement aux points demandés C et C En effet, les triangles semblables de la figure donnent