CHAPITRE V
ÉQUATIONS DE DEGRÉ SUPÉRIEUR DONT LA RÉSOLUTION SE RAMÈNE AU SECOND DEGRÉ.
Équations bicarrées.
260. Une équation bicarrée est une équation du quatrième degré qui ne renferme que des puissances paires de Tinconnue. Une pareille équation peut donc toujours être mise
sous la forme
ax* ■+- bx^ -h 6* = o.
Pour ramener sa résolution à celle d'une équation du second degré, il suffit de poser x^=^y et, par suite, x^=^y^. L'équation donnée devient alors
ay^ -4- fc^'* -f- c = o, et Ton en déduit
— b±slh^ — iac
Mais, dear* =:/, on tire a: = ± yÇ^; par conséquent.
b ± \Jb^^ ^ac
la
En assemblant les signes de toutes les manières possibles, on trouve pour x quatre valeurs, deux à deux égales et de signes contraires. Ces valeurs sont
dr=-+-V/ '- — , X
yjb' 2a
— ^nc
Jt
- /\ac
- 4 ac
On voit qu'on a jc' = — x" ei a:*' = — x^^\ on pouvait prévoir ce résultat. Celte propriété n'appartient pas seulement à l'équation bicarrée, elle appartient à toute équation qui ne renferme que des puissances paires de l'inconnue. Dans ce cas» en effet, si la racine ar = -ha convient, la racine x=— a convient aussi ; car ( -f- a)v = ( — «}''', p étant un entier quelconque.
261. Cherchons à reconnaître la nature des racines de l'équation bicarrée sans la résoudre. Désignons par/' et/" les racines de l'équation «/"-f- 6/-f- c = o; les racines de l'équation ax^ -f- hx^ -I- c = o ont alors pour expression
x = ±^, x = ±>lf.
i^ Les quatre racines de l'équation bicarrée sont réelles si l'on a/'^o ety>o, c'est-à-dire si les racines de l'équation a/* -h 6/ -+- c = o sont positives. Il faut pour cela qu'on ait 6' — ^ac'^Oy c> o et 6<[o (2W, i**), en supposant a positif, ce qui est toujours permis.
2'' Les quatre racines de l'équation bicarrée sont imaginaireê si l'on b jr^ <Co ei y <io. Les racines de l'équation «/' -f- 6j -f- c* = o doivent alors être toutes les deux négatives; ce qui entraîne les conditions b*^ ^ac'^o, c>o et 6>o (2U, 1°).
3*" L'équation bicarrée admet deux racines réelles et deux racines imaginaires, lorsqu'on a, par exemple, /'>o ei X'K^o. Pour cela, il faut que les racines de l'équatioD ay* -^ bjr -^ c = o soient réelles et de signes contraires ; la seule condition nécessaire est alors c<o (244, a").
4" Si l'on a b^ — /^ac = o, il vient y'=^y. Les racines de l'équation bicarrée, égales deux à deux, sont réelles si l'on a z' > o ou 6 < o» imaginaires si l'on a/' < o ou A > o. Dans
ce cas, x = ±i/ (244, i**).
5* Si Ton a 6* — /^ac<^o, les racines z' et 7^ sont imaginaires, et il en est de même des racines de l'équation bicarrée
262. Le premier membre de l'équation «j^-* -h 6/ 4- c = 0 peut se mettre sous la forme «(jr — ^) (t*— 7^)- • • (249). Mais on a d'une manière générale x^=Xp ^n même temps que
ALGÈBRE ÉLÉMENT Al HP.. 5^1
od^=^y el x^^=zy^. Par suite, on peui poser ay^-hby -hc ou a x^ -{- b x^ + c =i a[x^ — x'^)[x^ — x^^].
X' — x'^ -=[x— x') [x -f- x') et x^ — x"'^ = [x — x"*] [x -f- x'].
On peut remplacer d'ailleurs la racine x* par la racine x*' prise en signe contraire, c'est-à-dire par — x"; de même, x^ est égale à — ar»\ On a alors
x^ — x'^z=z [x — x') [x — x") et x^ — X*'» z=i[x^x^][x — x^"),
c'est-à-dire ax*-¥- hx^-h c=:a{x — x') (x — x") [x — x*^) (x — ^'^).
Et Ton voit bien sous cette forme pourquoi l'équation bicarrée admet quatre racines et pourquoi elle ne peut en admettre davantage.
