La résolution des équations bicarrées conduit à des

expressions de la formev/A ±v^Ii, c'est-à-dire qui correspondenl à Textraction de la racine carrée d'une quantité en partie rationnelle et en partie irrationnelle. On peut, dans certains cas, transformer ces expressions en une somme ou une différence de deux radicaux simples du second degré ; et cette transformation, outre son importance au point de vue théorique, facilite la réduction des formules en nombres.

Nous supposerons d'abord que, A et B étant des quantités rationnelles, B est en outre positif. Nous écrirons alors

en Imposant aux quantités inconnues x et/ la condition d'être elle-mémes rationnelles. Si l'on admet que les deux membres de réquation posée ne renferment que des quantités positives, on a le droit de les élever au carré, et il vient (72)

A -I- v^ =:x-\-2, yfxy" -f- y^ c'est-à-dire

(A — X — y) -I- y/B = 2 sfxy.

En élevant de nouveau au carré, on trouve

(A — or— /)»-l-2(A — a:— j)^-hB = l^xy.

Le second membre de cette équation étant rationnel d'après l'hypothèse adoptée, il faut que le premier membre le soit aussi.

Le terme qui contient v^B doit donc disparaître de lui-même, quel que soit B, ce qui exige que le coefficient (A — assoit égal à zéro. On a ainsi

k—x — y^o ou ar-f-j=\.

H en résulte, d'après l'équation considérée elle-même,

B = 4^/ ou xy=y

On connaît donc la somme et le produit des deux inconnue&r et/, qui sont alors (243) les racines de l'équation du second

degré

d'où

Les valeurs de x et de r doivent être rationnelles, comme nous l'avons supposé, pour que la transformation effectuée ait une utilité pratique; et>pour qu'il en soit ainsi, il faut que

la quantité ^ A= — B, placée sous le radical de la valeur de z, soit un carré parfait.

Si Ton représente ce carré par C% on a, en séparant les racines de réquation en z,

X =. et r=

Par suite.

(!) ^A-^VB^vZ-t^-^V/

Si Ton a à transformer l'expression y A— vB, on pose de même

en supposant :c>j^. Les mêmes raisonnements et les mêmes calculs conduisent alors au résultat

(2; VA-v'H=:y/^-^

On peut enfin changer à la fois les signes des deux membres dans les équations (i) et [2], de sorte qu'on a

(3) Va-h,/B = - y/^-^

-Vi:r7S = -^^^^.v/i=^

Les formules (i), (2), (3), (4) sont évidemment comprises dans la formule générale

524 ALGEBRE ÊLÊMENTAIHE.

si l'on convient de prendre, dans celle dernière égalité, les mêmes signes extérieurs dans les deux membres ainsi que les mêmes signes intérieurs, sans qu'il existe d'ailleurs aucune corrélation entre le choix adopté pour les signes extérieurs el celui fait pour les signes intérieurs.

Il est à remarquer que l'équation yjx -h vB= yjx + yfy- z suffi pour déterminer les deux inconnues ^et y, parce que la condition de rationnalité imposée à ces inconnues tient compte implicitement d'une seconde équation.

£65. Exemples.

i" Transformer l^ expression

On a ici

A = 5, B = ai.

Par suite,

A'-B=C^ = a5 — ai = 4 ou C = 2.

Il en résulte immédiatement

v/^vw^

ou

\ls ■+- v/*2i = ■+- v/3,5 -H v/i,5 .

2° Étant donnée une équation bicarrée y cJiercher la condition pour ffue la transformation dont il s'agit puisse être appliquée aux racines de cette (équation.

Soit réquation

ax* -h bx' -h c = o.

On en déduit

On a ici

A=A et 8 = *'-'''''

2fl 4rt^ '

par suite,

.2__P b^ b^ — ^nc ^ac c

La condition demandée est donc que le quotient - soit un carré parfait.

Soit réquation

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. SâS

g étant un carré parfait, la transformation peut être effectuée. On a

Par conséquent, A = 4, B = 7, A* — B = C = 9 et C = 3 ; ce qui permet d'écrire

266. Lorsque la quantité A'— B n'est pas un carré parfait» la transformation dont nous venons de nous occuper est encore possible, en ce sens que les deux expressions comparées sont toujours équivalentes; mais elle n'a plus d'utilité» puisqu'elle remplace l'expression proposée par une expression plus compliquée.

Cependant» nous considérerons le cas où B est une quantité négative. L'expression A + v^ devient alors une expression imaginaire du second degré» qu'on peut mettre sous la forme A -h K I (237), en posant B = — K*. Extraire la racine carrée de A -h ^, c'est alors extraire la racine carrée d'une expression imaginaire du second degré. Il est facile de voir que cette racine carrée est une expression imaginaire de môme espèce (261, 5«).

En effet, nous avons déjà dit (et nous reviendrons plus en détail sur ce point dans la section consacrée à V Algèbre su-périeure,i. III] que les expressions imaginaires auxquelles la résolution des équations du second degré donne naissance doivent être traitées à l'aide des mêmes règles de calcul que les quantités réelles, en regardant le carré de v^ — i ou i' comme égal à — i.

On peut donc poser encore

et cette équation suffira pour trouver les inconnues x et ^, pourvu qu'on leur impose la condition d'être des quantités non plus rationnelles, mais réelles. Si l'on reproduit alors identiquement les opérations précédentes, en tenant compte de cette dernière condition, B est partout remplacé par — K^ de sorte qu'on parvient aux valeurs

A-+-\/A»-4-K» A — v/A«-f- K> x = • et /= •

526 àlgèbue élémentaire.

Celle de x est positive, tandis que celle de ^ est négative. On peul donc poser j: = a* el 7= — 6'. Il en résulte, d'une manière générale,

± )fA±Ki = ±[a± bi).

Équations binômes (*).