Toute équation binôme est une équation de la forme

a étant une racine quelconque de cette équation, posons x= ay\ on aura af* = a"^, d'où

Mais a étant une racine de Téquation (i), on doit avoir /i" = A et, si l'on divise les deux membres de Téquation précédente par a", elle de* vient

Ayant calculé les racines de V équation (a), on obtient ensuite toutes celles de V équation \\) à Vaide de la relation x = ay.

Si l'on suppose que la constante de l'équation binôme soit une quantité réelle, on peut mettre son signe en évidence en écrivant l'équation aous la forme

(l bis) J7™ qr A = o.

A étant alors une quantité positive, on peut toujours trouver une quantité positive a, telle qu'on ait 0"= A. En posant encore jc = ay^ on ramène, comme précédemment, la résolution de l'équation (i bis) à celle de l'équation

{%bis) /"qil=:0.

Nous allons parcourir, comme exercice, quelques cas particuliers de la résolution des équations binômes, en les considérant exclusivement sous l'une des deux formes

(*) La théorie des équations binômes fait partie de la théorie générale ^es équations (voir t. 111). Nous n'en disons ici quelques mots qu'aûn de pouvoir présenter d'utiles exercices de calcul.

On a à résoudre les équations

^—1 = 0, d'où j=±:i;

J^' -f- I = G, d'où ^ = ± y/— I = dz «.

a* OT = 3.

On a d'abord à résoudre l'équation

jJ — I = o.

En divisant le premier membre de cette équation par^— i, on obtient (54) le quotient exact j'+zh- i; on peut donc la mettre sous la forme

Elle se décompose alors en deux autres équations

jr — I = o, d'où / = I ;

j'-+-r-f- 1= o, dou ^= ^ = -^

L'équation ^ — i = o admet donc une racine réelle égale à i et deux racines imaginaires. Il est facile de vérifier que chacune de ces racines imaginaires est le carré de Vautre , de sorte que, l'une d'elles étant représentée par a, l'autre le sera par a'.

L*équation considérée revenant à ^= y/l^ on peut dire que l'unité a

trois racines cubiques i , a, a*, en posant a = — •

Soit maintenant l'équation

Elle ne diffère évidemment de l'équation 7^—1 = o que par le changement de jr en —y\ ses racines sont dono les mêmes changées de signes

(199), c'est-à-dire - 1 et'^'^-

3* /Il = 4.

On a d'abord à résoudre l'équation

Elle peut s'écrire (30)

(r'— 0(r*-+-0 = o• EIle se décompose donc en deux autres équations

J* — I = o» y -+^ I = o, déjà résolues (i®)» et dont elle réunit les racines*

528 ALGEBRE ^LÉME^TAIBE.

Soit maintenant Téquation

Nous emploierons, pour la résoudre, l'artifice suivant. Ajoutons et retranchons dans le premier membre le terme ^y. Nous aurons

y-t- a^-* H- I — 2/*= o ou (j^-+-i)'— ay = o, c*est-à-dire (30), en décomposant en facteurs,

Les racines de Téquation proposée sont donc celles des deux équations du second degré

^•^-4-^^2-^1 = 0, doù x = — ^5

j— j/a-4-i = o, dou y — - —•

On a d'abord à résoudre Téquation

Son premier membre divisé par j — i donne (54) le quotient exact

on peut donc !a mettre sous la forme

Elle a, par conséquent, pour racines Tunitéet celles de Téquation

Cette dernière équation est une équation complète du quatrière degré; mais, comme elle est réciproque (voir V Algèbre supérieure, t. III), on peut ramener sa résolution à celle d'une équation de degré moitié moindre, c'estrà-dire ici du second degré. En effet, divisons ses deux membres par j^; en rapprochant les termes également éloignés des extrêmes, nous pourrons alors l'écrire de la manière suivante :

Posons r -t- - = 3, inconnue auxiliaire. 11 en résulte

Z^ ou r* -h -r: = Z' — 2.

ALGEBRE éLÉMENTÀIRE. 529

£d substituant ces valeurs daus Téquation précédente, elle devient

z'-+-z — 1=0, doù z = ^^»

La relation r -4- - = z donne à son tour

/* — zj H- I = o, d où y = —

Les cinq racines de l'équation ^—1=0 sont donc finalement, en remplaçant z par sa valeur dans l'expression de /,

Dans la dernière formule, les signes de yJZ doivent se correspondre en dehors et en dedans du second radical.

Soit maintenant l'équation

Elle ne diffère de l'équation j*— i = o que par le changement de signe de j^; elle admet donc les mêmes racines, changées de signes. 5' m = 6.

Soit d'abord l'équation

Elle se décompose immédiatement dans les deux équations déjà résolues {2?)

et réunit leurs racines.

Soit maintenant l'équation

Si Ton remplace dans cette équation/ par ^Z, on obtient

jr'i^ -t- 1 = o,

ou bien, puisque /• = — i en vertu de la condition /*= — i,

— ^4-1 = 0 ou ^ — 1 = 0.

Puisque les équations ^ -h i = o et/*— i = o ne diffèrent que par le changement de/ en/i, les racines de la première équation sont celles de la seconde multipliées par le symbole /; elles ont donc pour expression,

De C. — Cours, U Si

53o ALGÈBRE ÉLÉMENTÀiaS.

d'après ce qui précède,

1 'Ji

Soit d'abord l'équation

Bile se décompose dans les deux équations déjà résolues (3**^

et réunit leurs racines.

Soit maintenant Téquation

Nous emploierons l'artifice déjà indiqué pour résoudre l'équation

c'est-à-dire que nous ajouterons et que nous retrancherons dans le premier membre de Téqualion donnée le terme 2/*. Nous aurons ainsi

.)-*-|-2r'-i- I — 2/*= o ou (/*H-i)* — 27^ = 0.

En décomposant le premier membre en facteurs, on obtient

Cr^-Hi-J-j^V^) (/-+-!— //ï) =0.

La résolution de l'équation proposée revient donc à celle des deux équations bicarrées

y-i-j^^-i-i = 0 et y — /*v^-t-i = o, qui ont pour racines

= ±yj-^^'^ et j.= ±i/v^''/i.

Soit d'abord l'équation

Elle se décompose immédiatement dans les deux équations déjà réso'

lues (4'')

et réunit leurs racines.

ALGÈBRE ÉLÉMEIVTÀinE. 53 I

Quant à Téquation

elle ne diffère de l'équation y*— i = o que par Je changement de / en //; elle a donc les mêmes racines, multipliées par /.

Soit d'abord l'équation

Son premier membre se décompose immédiatement en facteurs, et elle a pour racines celles des deux équations déjà résolues (5*")

Quant à Téquation

sa résolution se ramène à celle de deux équations trinômes^ et nous la considérerons au paragraphe suivant (270).

Équations trinômes.

269. Une équation trinôme est une équation à trois termes dont deux

seulement renferment l'inconnue; dans ces deux termes, les exposants de

l'inconnue sont doubles l'un de l'autre. La forme générale de l'équation

trinôme est donc

flx*" -f- baf^ -H c = o.

On voit que l'équation bicarrée n'est qu'un cas particulier de Téquatii» trinôme (260), celui où //i = a.

En posant af^^y et, par suite, x*" = ^, l'équation proposée prend la forme

Cette équation du second degré donne pour j^ deux valeurs^, etj^,. Il ne reste plus ensuite, pour avoir toutes les racines de l'équation trinôme, qu'à résoudre les deux équations binômes (268)

j:"— /, =o et a:"— /j = o,