AU PREMIER

Cas de plusieurs équations du premier degré combinées avec

une équation dn second degré.

271. Nous reviendrons plus lard (voir V Algèbre supérieure^ t. III) sur la théorie générale de V Élimination, 'Sous devons nous contenter ici de considérer» dans quelques cas simples, la résolution des systèmes d'équations simultanées, lorsque toutes ces équations ne sont pas du premier degré.

272. Nous supposerons d*abord que le système donné, renfermantn inconnues Xf j, z, ..., /, est composé de [n — i) équations du premier degré combinées avec une seule équation du second degré.

On déduit alors, des (n—i) premières équations, les valeurs des (/i— i) inconnues y, z, ..., /, en fonction de x regardée comme une quantité connue (128). En substituant ces valeurs dans la /t''"" équation du second degré, on obtient une équation du second degré qui ne renferme plus que l'inconnue x. Cette équation conduisant pour cette inconnue à deux valeurs x' eix*', il en résulte immédiatement, pour chacune des {n — i) autres inconnues, deux valeurs correspondantes y et ^', z' et z'\ ..., /' et /^

Prenons, par exemple, le système formé d'une équation du

premier degré et d'une équation complète du second degré à

deux inconnues^ et j. Ce système, en résolvant l'équation du

premier degré par rapport à j^, peut toujours être ramené à la

forme

jr = ax -^ by

Ax^'+- Bxy'hCy-¥-l)x-\'Ex-\'F = o.

En éliminant y par substitution, on obtient l'équation du second degré en x

qui, en effectuant les calculs et en posant

A -4- Ba -f- Ca'= M, Bft -4- 7,Cab + D -4-E/i = N,

devient

Mj?^-hN^-4-P = o.

Cette équation ayant deux racines x* et x'^ on en déduit pour j les deux valeurs correspondantes

y ^ax'-^b et yzzzax^'^b.

Le système proposé admet donc les deux solutions x* et/, x^ eijr^f et ne peut en admettre davantage.