X -hr =a
x^ -h y = If*,
La première équation donne
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. SSj
et la seconde devient
d*où
c*est-à-dire
et ^
On en déduit
•'' "" 6fl ~ 6/1
•^~ 6fl
La symétrie des équations explique la coïncidence des valeurs de x et de y. Pour que les valeurs des inconnues soient réelles, il faut qu'on ait 12^1^ > 3flr*ou 4^*>a'.
G** Soit à résoudre le système
x-hx = a,
Si l'on chasse les dénominateurs, la seconde équation devient
x^-^y^= hxy.
La première équation donne
En substituant cette valeur dans Téqualion précédente, on trouve
j:'-+- (/ï — j?)'= bx (ûr — x\ d'où
(a -h ^) x'^ — a (2-H^)x-HÛ*=0
et
g(2H-^)±v/«'(2-h^)'- 4^/Ma-t-^),
En faisant sortir à^ du radical et en simplifiant sous ce radical, on obtient
i{'JL '\- b)
On peut alors diviser les deux termes de la valeur de x par 2 -h ^, en remarquant que pour diviser le radical par 2 -+- A il faut diviser sous le radical par (2-4-^)', et que 6*— 4 revient à (^-+-2) (ô — 2); si Ton met
en outre - en facteur commun, on arrive à la formule
538 ÀLGÈBB.B ÉLÉMEJNTAIIIE.
On a, par suite,
y=ly^\Jv^)
La condition de réalité des racines est ^ > a, ^/s valeur absolue.
Systèmes d'éguations de degré supérieur au premier, renfermant au moins deux équations du second degré.
27^. Examinons spécialement le système formé de deux équations complètes du second degré à deux inconnues. Un pareil système peut toujours s'écrire
(i) ax^-\'bxy-\'Cy^'-k-dx'^ey'^f=io^
(2) a'x^ -h b'xy-¥ c'y^ -4- d'x -h e'y '^f= o.
Pour éviter les radicaux et pour rentrer dans le cas particulier précédemment étudié (272), nous commencerons par éliminer/^ entre les deux équations. Pour cela, multiplions la première par c', coefficient de^-* dans la seconde, et la seconde par c, coefficient de j' dans la première; puis retranchons les deux équations membre à membre. Il vient ainsi
. J {ac'^ca')x^-^ (bc' — cb')xx'\-{dc''-cd')x
^^ \ -f.(ec'— ce') j-f.(/c'— /?/)... = 0.
Les équations (i) et (3) forment alors (122) un système équivalent au système proposé. L'équation (3), étant du premier degré en j, donne immédiatement
[ne'-- cn')x''^{dc'— cd')x'^ [fc'^cf] ^~~ [b& — vb' ] X -\- [ec' — ce' )
En substituant cette valeur dans Téquation (i)yOn trouve évidemment, en chassant les dénominateurs et en effectuant les calculs, une équation complète du quatrième degré qui ne renferme plus que l'inconnue x. Cette équation, de la forme
(/•) M X^ -4- Na:»-f- Pa-'h- Q^ h- Il == o,
donne donc [voirVAlçrèbre supérieure, t. III) quaUe valeurs pour X et, par suite, quatre valeurs correspondantes pour/, de sorte que le système proposé admet quatre solutions.
ALGÈBRE ÉLÉMEKTÀIIIE. dSc)
Nous ne pourrons résoudre dès à présent l'équation résultante (r), que lorsque les valeurs attribuées aux données nous conduiront aux cas particuliers suivants :
!• On a M = o et N = o : Téquation (r) se réduit au second degré ;
2" On a N = o etQ= o : l'équation (r) devient bicarrée;
3» On a M = o et R = o: l'équation (r) devient du troisième degré> mais elle a une racine nulle et s'abaisse au second degré;
^ On a Q = o et R = o : l'équation (r) reste du quatrième degré, mais elle a deux racines nulles et s'abaisse au second degré.
5» On a N=:o, P = o, Q = o : l'équation (r) se confond avec l'équation binôme du quatrième degré (267, 268);
&* On a M = RetN=:Q: l'équation (r) devient une équation réciproque du quatrième degré et peut s'abaisser au second degré (268, 4«).
275. Lorsqu'on a à résoudre des systèmes de degré supérieur, renfermant plus de deux inconnues, on cherche, par les procédés d'élimination auxquels on a recours, à éviter la formation d'équations réduites, dont le degré soit supérieur au second ou qui ne puissent se ramener au second degré. Les exemples suivants permettront de se familiariser avec les plus usuels de ces procédés :
