tome donné. On en déduit
et il en résulte (2)
(a) x=i(dbv/rt'-+-2A'=fcv^a*-2//),
(p) / = i (± v/«'-+- aô* ^ /fl*- 2^»).
On voit qu*on doit prendre ensemble dans les deux Tormules les signes supérieurs et les signes inférieurs. On a ainsi les quatre solutions
j: = H- i(v/^i'-+-2^' — v^«'— 26'), r -^ -H i (v/?+âP -4- y/fi^ — ^t'Y
Les valeurs de x et de/ sont les mômes, sauf Tordre dans lequel on doit les assembler, par suite de la symétrie des équations (i) et (2) par rapport aux inconnues. Pour éviter les fautes de signes, il suffit de remarquer que le produit xjr doit toujours être égal à b^.
On peut encore résoudre directement le système proposé, sans employer aucun artifice de calcul. On tire de Téquation (2)
et, en substituant cette valeur dans Téquation (i), on obtient l'équation
bicarrée
b^ x^-\ — 1 = a' ou X^ — à^x*-hb*=:o.
On en déduit
et il en résulte
^^±^'^±ïi;^,
Multiplions par 1/ — 1— les deux termes de cette dernière
ÀhGÈBIlE ÉLÉMENTAIHE. 5{l
valeur, en prenant ensemble, sous les deux radicaux multipliés, les signes supérieurs et les signes inférieurs; le dénominateur se réduit (72, 30)
k^b* ou à />', et Ion a
Dans les formules (7) et (^), on doit associer respectivement les signes extérieurs et les signes intérieurs^ sans établir de corrélation entre le choix fait pour le signe extérieur et celui fait pour le signe intérieur.
Les deux procédés employés conduisant à des valeurs différentes en apparence, (a) et (^) d*une part, (7) et (^) d'autre part, il reste à montrer que les résultats obtenus sont au fond identiques.
On reconnaît immédiatement que la transformation exposée au n"* 264
est applicable aux valeurs {7) et [$), puisque la quantité -r -^ —
(qui représente ici la différence A' — B) se réduit à un carré parfaite. En opérant cette transformation, on remplace les valeurs considérées par les suivantes :
c'esl*à-dire qu'on retrouve précisément les valeurs (a) et ( ()). a** Soit à résoudre le système
On déduit de la seconde équation y = -t et la première devient x'-h^=35, d'où x«— 35a:*-f-2i6 = o.
C'est une équation trinôme (269). Posons donc x* = z et j:* = z'; il vient
z^ — 35z -h 216 = o, d'où
35 ± v/i5t5t5 — 864 35 =fc 19 ( « = ^7,
z = 1 = H et { .
Comme on a, d'une manière générale, jt:^— 2= o, il reste à résoudre les
54 2 ALGEBRE ÉLÉMENTAIHE.
deux équations binômes du troisième degré (268, 'i^)
.r* — 27 = o et :r* — 8 = 0.
Ces deux équations admettant respectivement les racines réelles 3 et 1 les six valeurs de x sont les suivantes :
Les équations proposées étant symétriques par rapport aux inconnues, X etj ont les mêmes valeurs ; seulement ces valeurs doivent être assemblées de manière que leur produit soit toujours égal à 6. Les valeurs de X qui correspondent aux valeurs précédentes de x sont donc
3° «Soi7 à résoudre le système
On déduit de la seconde équation
c'est-à-dire
x^^î-» = rfc 6* ;
par conséquent, les valeurs de x^ et de ^'^ sont les racines des deux équations du second degré
on rentre donc dans le cas précédent.
4* Soft à résouiire le système
m mm m.
Posons
x^ = Il et jr^ = ç.
Les équations proposées deviennent alors ( 80
u -h yfiîv H- p = ^/,
ALGÈBRE ÉLÉMEIÏTÀIRE. 543
La seconde équation revient à
{u-ht^y — uv= b^j c'e8t-à-<iire à
(a -H v-h^ûif) {u ■+-v — ^uvj= b^.
En remplaçant le premier facteur du premier membre par sa valeur a, on a
On connaît donc la somme et la différence des quantités u-hP ei ^ûi; par suite, on peut écrire
a h" fl» -4- y
n -h if = - -i = ï
i/uv = = î d ou iw = ^ — , , •
La question est ainsi ramenée à trouver deux quantités u et p, connais* sant leur somme et leur produit (190). On aura ensuite à résoudre les deux équations binômes (267)
5° Soii à résoudre le système
abc
Un théorème de calcul (64] nous donne immédiatement
abc
Par suite,
ad
bd
cd
± yj à' -t- b' ■+■ (^
±:^a^-hb'-h c
6* Soit à résoudre le système
(1) (x-H/-f-z)*= 5jr'-+- 8(ur-H s),
On peut écrire comme il suit les deux dernières équations
544 ALGÈBRE ÉLÉMEMTÀIHE.
Si l'on divise membre à membre ces deux équations, on en déduit En combinant ce résultat avec l'équation z h- / = x', on trouve
Remplaçons, dans le premier membre de Téquation (i)^y-\- z par x^ et, dans le second membre, ^ et z par les valeurs qu'on vient d'obtenir. Cette équation devient
Dans le premier membre, on peut faire sortir x de la parenthèse en l'élevant au carré. On peut multiplier les deux membres par le dénominateur 4- On peut enfin, dans le second membre, remplacer x*— i par le produit (x -m) (x— i], et, comme x*-^\ est élevé au carré, il faut aussi élever ce produit au carré. On obtient ainsi
4x*(x -t-l)* = 5(x -h l)^ [x — l)'-H l6(2XH- x'-H l).
Le dernier terme du second membre n'est autre chose que i6(x + i)'. En faisant passer tous les termes dans le premier membre, on peut donc mettre (x + 1)^ en facteur commun, et Ton a
(x-Hi)»[4x»— 5(x — i)»— i6]=o.
Le facteur x + 1 égalé à zéro donne x = ~ i; les valeurs correspondantes de^el de z sont/ = o et z = i. Le facteur ^a^ — 5(x — i)'— 16 égalé à zéro conduit à l'équation du second degré
X*— lox -1-21 = o; d'où
x= 5 it y^25 — 21 , c'est-à-dire
X — y cl X — — O.
Les valeurs correspondantes de j sont j = 24 et / = 4 ; celles de z sont z = 25 et z= 5. Los quatre groupes de valeurs forment le tableau suivant :
X'= — I, X''= — I, X'"=z 7, X'^rra,
/= o, j*= o, /"'=24, r''-4, z'= I, z'zrz 1, z''' = 25, z'^^a.
7® SoU à résoudre le système (j) x*-h^— «' — «* = /?,
(2) X H- J -\- Z -hU = Ùf
Mettons respectivement, dans le premier membre des équations (i) et (2), x' et X en facteur commun. On obtient ainsi
Posons - = r, et cherchons à exprimer les rapports -et - en fonction de /.
On ramène de cette manière la question à la résolution de deux équations en X et en /.
En divisant par x* les deux membres de l'équation (3), on trouve
'-^ = - = /*. En divisant par x* les deux membres de Téquation (4), on
peut de môme écrire - ^^ = - = r^ On a donc
