XX X
par suite, les équations (i) et (2) deviennent
J7 {n-r -+-/'-t- /') = b, La première peut se mettre sous la forme
(a) a:'(l-^/^)(l-r*)=fl.
La seconde peut se mettre (54) sous la forme
Si Ton divise alors membre à membre les équations (a) et (^)i on obtient
x(l4-/')(l-0=2> De C. — Cours, L 35
54^ ALGÈBRE ÉLÉMENTAIllE.
d'où
*"^{n-r»)(i-0' Si Ton substitue cette valeur de x dans Téquation (P), on obtient
Si l'on remplace i — /* par (i -h r*) ( i — /*) et i — f» par (i h- /) (i — r), on trouve
On peut alors supprimer à la fois le facteur i + /' et le facteur i — /, communs aux deux termes du premier membre, et l'équation devient
On en déduit
«(i + 0 = ^Mi-0,
d'où
Il en résulle
par suite,
(b^-^af
^(i-H/')(i-0~ ibib'-ha')'
On a donc ensuite
Ces valeurs sont faciles à vérîBer.
8** Soit à résoudre le système
ar< H- y = b\
Nous éviterons l'équation complète du quatrième degré en x, qui résulle de l'élimination directe de y^ à Taide de l'artifice suivant. La somme des quantités op et / étant égale à a, ces quantités sont ra-
ALGÈBRE ÉLÉMENT AIHE. 5 jj
cines d'une équation du second degré de la forme
fj qui représente le produit xy est inconnu et doit prendre les valeurs nécessaires pour que les équations en z correspondantes donnent toutes les valeurs de x et de 7-. Étant donnée Téquation
X* -^ px-^q— o,
on a, d'une manière générale (248), en désignant par y et x' les racines de cette équation,
x'* -+- JT** = p*— ip^q ■+■ 27*.
Si Ton revient maintenant à l'équation
z* — flz-f- 7 = o,
dont les racines sont x et Xi ces racines doivent donc satisfaire à la relation
X* -h jr* = {^ — ia^q -h 2q^,
puisqu'on a dans le cas considéré /? = •— a. En vertu de l'équation on a donc
et Ton peut déterminer q.
L'équation précédente, mise sous la forme
27' — ia'q -♦- a* — 6* = o,
donne
Supposons, par exemple, qu'on ait
Il faut faire, dans les relations précédentes,
a = y et A* = 642.
On a alors
7 = ''-^ ^— ' = —i c est-à-dire J ,
^ a 2 ( y'rr 10.
5^8 ALGÈBUE éLÉMENTAiaE.
Les valeurs de x et de 7- sont donc déterminées par les deux équatiODS
Ln première donne
z' — yz-^ iG = 0.
d'où
7=tv/49-4.88 7±v^-3o3
jr = ^^ et j = *
ou
7 — yl — 3o3 , 7 -f- i/— 3o3
j:= £ 1 et Y=^~ «
La seconde équation
donne
d*où
X = 5 et 7" = a,
ou
X = a et ^ = 5.
On peut, au lieu d'opérer comme on vient de Tindiquer, résoudre directement réquation
dont les racines sont x et y. On en déduit
a ± i/fl' — 4 7
d'où
En transportant ces valeurs dans Téquation z^-^y^ = h^ et en effectuant les calculs, on trouve, pour déterminer 7, la même équation
qu*on vient d'obtenir plus rapidement.
ALGEBRE ÉLÉMENTAIKE. 5^9
