xt=i

d'où

xt:=yz=. 126.

Les deux équations

a:-4-/=27 el x/=:ia6

55o ALGÈBRE ÉLÉMENT A IRE.

prouvent que x et / sont les racines de l'équation du second degré

d'où

!JC ^^^ 21 ( JT ^^^^ 6

* OU î '

Les deux équations

^'-H3=23 et J'Z=I26

prouvent de même que j et z sont les racines de Téquation du second

degré

d'où

cesl-a-dire < ou {

On peut assembler comme on veut les différents couples de valeurs. Si

l'on choisit les deux premiers, la proportion cherchée a la forme— = ^•

On peut dans cette proportion changer les moyens de place entre eux sans changer leur somme; de même, pour les extrêmes. On retrouve ainsi les autres couples de valeurs.

Problèmes sur le triangle rectangle

278. I. Calculer les côtés de Van^le droit d'un triangle rectangle, connaissant son hypoténuse a et la hauteur correspondante /i.

O'pijrnons par .r et y les deux côtés inconnus, et supposons que x

(Jtg. 19) représente le plus grand des deux. Le double de l'aire du triangle est exprimé à la fois par le produit jnr et par le produit ah. On peut donc poser immédiatement les deux équa* tiens du problème :

( xy = ah.

lie.

Ajoutons et retranchons membre à membre ces deux équations, aprè» avoir multiplié par 2 les deux membres de la seconde. Il vient

( [x-^yY = a^-{- 'xnh =z (t(a-\- ih)^ *^' \ (.r — r)'=/i'— 2«A =/i(« — 2/1),

ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 55l

et le système {o) ainsi formé est équivalent au système (i) (122). On en déduit

et les deux radicaux ne comportent que le signe -h, puisque les inconnues sont essentiellement positives. On a donc fmalement [i)

X et y^ devant être positifs, doivent être à plus forte raison réels. La condition de possibilité du problème est, par suite,

a^ih ou /!<-•

Le problème qu'on vient de résoudre dépend des deux constantes a et/r. Admettons qu'une seule de ces quantités soit donnée, et cherchons entre quelles limites l'autre peut varier d'après la condition de réalité obtenue.

Si a est donné , il résulte de l'inégalité A < - que h peut recevoir toutes les valeurs de zéro à ~ qui est son maximum. Pour cette valeur

spéciale, le triangle rectangle devient isocèle, car on a alors x — y— — 7— •

Si h est donné, l'inégalité a^'kh montre que a peut recevoir toutes les valeurs depuis ih qui est son minimum jusqu'à -h œ. Pour la valeur

a = 2//, le triangle rectangle devient isocèle, car on a alors x =7-= // ^-i. Ces deux résultats sont évidents d'après la Géométrie. La discussion qui précède, et qu'on peut renouveler dans toutes les

questions analogues, conduit' aux deux théorèmes suivants :

De tous les triangles rectangles qui ont la même hypoténuse^ le triangle isocèle est celui de hauteur maximum.

De tous les triangles rectangles de même hauteur , le triangle isocèle est celui dont l^ hypoténuse est minimum,

279. IL Trouver les trois côtés d*un triangle rectangle , connaissant son périmètre et sa surface.

Représentons par 2/? le périmètre du triangle et par s^ sa surface, désignons par x et y les deux côtés de l'angle droit, par z l'hypoténuse. L'énoncé et la propriété fondamentale du triangle rectangle donnent im-

552 ALGÈBUE ÉLÉMENTAlllK>

médiatement

.r/ — 2.r, x'-hy=z\

On déduit de la première équation

x-i-f — ip — z.

En élevant les deux membres au carré, on obtient

En remplaçant dans le premier membre x'*-^y^ par z^ et ixy par 4^', il

vient

z' disparatt dans les deux membres, Téquation s'abaisse au premier degré, et Ton en tire

Les côtés du triangle sont essentiellement positifs. Pour que le problème soit possible, une première condition est donc qu'on ait /?'— j' > o ou p>s.

La première équation du système proposé donne