X -hj

Xf =

on a d'ailleurs

Par conséquent, x et 7 sont les racines de l'équation du second degré

ir — ' « -H 2 j' = o.

Si les racines de cette équation sont réelles, elles sont positives, puisque leur somme est positive et leur produit positif (244). La seconde condition de possibilité du problème est donc ( 236)

Cette condition revient (217) à

(^*-H s^Y > %p^s^ ou ^'-f-.ï'> ^psy/î,.

Cherchons de quelle manière p ^\ s peuvent varier l'un par rapport à l'autre, et posons - = K.

ALGÈBRE ÉLÉMCItfTAIRE. 053

L'inégalité trouvée, qu'on peut écrire

/?' — ips v/a -+- ^ > o,

donne alors

ou

K'— aK v/i-h 1 > o.

Si l'on pose

on trouve

Pour que l'inégalité précédente soit satisfaite, on doit donner à K des valeurs extérieures aux racines qu'on vient de trouver (252). Il faut donc qu'on ait

K > y/a -»- I ou K < v^2 — - 1. Mais nous avons déjà obtenu

p^>s^ ou ;.a>l,

cesl-à-dire

K* ou K>i.

On doit donc rejeter la condition K < v^2 — i, de sorte que Tunique condition de possibilité du problème est

K ou ->v^-+-i.

On en «iéduit

p > S (v/2 H- l) OU f < -p

va -4-1

Ces inégalités indiquent quel est le minimum du périmètre d'un triangle rectangle de surface donnée, et quel est le maximum de l'aire d'un triangle rectangle de périmètre donné. Comme l'inégalité considérée devient à la limite une égalité, on voit que, dans les deux cas indiqués, le triangle est isocèle, puisque Téquation qui donneur et /satisfait alors à la condition générale ^'— ^ac = o (238).

Dans le premier cas, c'est-à-dire pour/? = s (y^ -f-i), on a

•= y = s\ïs, et z=2J,

Dans le second cas, c'est-à-dire pour .v = ~-J- — > on a

r = /=/?(2 — v^) et z =2/?(v/2 — i).

554 ÂJjGrkBILE ÉLÉMEIffTÂIBE.

280. ni- — Trouver les trois côtés tTun triangie rectangle^ connaissant son périmètre ip et la somme a formée par son hypoténuse et la hauteur correspomlante .

Soient x ^x y les côtés de Tangle droit, z rhypoténuse, u. la hauteur inconnue correspondante. On a é^idemnient les quatre équations suivantes entre les quatre inconnues du problème :

z-^ a = a, jcx= zu.

En élevant la première équation au carré, après avoir fait passer z dans le second membre, on obtient

Si Ton remplace x^-t-j^ par z% tkj^^par 2zuei u par «— z, on trouve

iz(ri^z) = :\p^ — ipz, d'où

Si les racines de cette équation sont réelles, elles sont positives (214). D faut donc qu'on ait (236)

(2/?H- fl)*> 8/?* et 2/-^ -+- « > 2/; v/â .

La première condition de possibilité du problème revient donc à

fl]> 2,p{^ — i)-

L'équation

donne d'ailleurs

(2^-h/ï) =fc \/{-2;j-h ay — Sp^

Une seule racine peut convenir. En effet, pour les admettre toutes les deux, il faudrait qu'elles fussent toutes les deux plus petites que a en vertu de la relation z + r^ = a. Or il est évident que a est une quantité inférieure au périmètre ip. Il en résulte que la somme des racines de l'équation en z étant égale à 2/7 + /z, si l'une est plus petite que a, l'autre est plus grande que 2/7 ou que a ; elle doit donc être rejetée. On ne peut donc admettre que la plus petite des deux racines, celle qui correspond au signe — du radical ; et encore faut-il qu'elle soit plus petite que a. On

ALGÈBKE ÉLÉMENTA.IIIE. 555

doit donc satisfaire à la condition

c'est-à-dire

a'^ip — y/[ip -^ay--Sp^ ou v/(2/?-*-«)* — 8/?*> a/? — a. En élevant les deux membres de cette inégalité au carré, on obtient

d'où, en simplifiant,

Hap>Sp\

La condition a>/7 renferme évidemment la condition précédente

c'est donc Tunique condition de possibilité du problème.

Connaissant z, on a

connaissant z et u, on a

X -\- y^^p-^ z et x^= zii, par suite, on trouve x et^ au moyen de Téquation du second degré

Appliquons les formules trouvées aux données suivantes :

a;? =12, fl = 7,4.

La condition a > /? est ici satisfaite, et le problème est possible. On a

d'où

z = 5 et «=7,4 — 5 = 2,4.

X et^" sont alors les racines de Téquation

V*-7V-hi2 = o,

d'où

y 7 =^ /49 — 48 7 =fc= î .

par conséquent, si x est le plus grand côté, ou a

X = 4 et 7"= 3.

Problème sur le parallélipipède rectangle.

281. Déterminer les dimensions d'un parallélipipède rectangle^ dont on cannait la diagonale, la surface totale, et dont l'une des arête f est moyenne arithmétique entre les deux autres,

Ed appelant x, /, z les trois dimensions du parallélipipède, en v«présentant sa surface totale par s^ et en désignant par d sa diagonale, on a évidemment, d*après la Géométrie et d*après renoncé,

La seconde équation peut se mettre sous la forme

'}.x[x -4- z) -4- 2 rs = s' ;

y-^ z étant égale à 2x, on en déduit

Mais la première équation donne

Si Ton ajoute membre à membre cette équation et la précédente, il vient

4 J7»-H (/-4- z)* = J* H- rf* — J:*

OU, en remplaçant encore j -h z par aj?,

4 j:' -4- 4 x' = ** -f- r/* — x*, c'est-à-dire

gx" = .V* -h f/' et 0: = ^^ r •

Le radical doit être pris avec le signe +. On a alors

/ -h z = 2.r = —^ — et 4 -2^ -+- V* = •* ï

«i'où

^yz = si' — 4 ^^

et

yz= -

itf

X eiz étant des quantités positives, il faut qu*on ait ^' > -^ z c*est là la

première condition de possibilité du problème. Connaissant la somme j -h z et le produit/z, j et z sont les racines de

réquation du second degré

Si les racines de cette équation sont réelles, elles sont positives. On doit donc avoir

On en déduit facilement

c'est là la seconde condition de possibilité du problème. Pour que le problême soit possible, d étant donnée, s^ doit donc varier entre ^ et %d\

Si s' est donnée, d doit varier entre '-^— et *^ - • '

On a d'ailleurs

.'-Kr/* 5.v'-4''/'

d'où

sP

fP-s'

Si 7 est la plus grande des deux arêtes y et z,

ar/' — A

Problème du cylindre inscrit.

282. Inscrire dans une sphère donnée un cylindre dont la surface totale soit donnée.

Nous désignerons par R le rayon de la sphère donnée, par x et par^" le rayon de la base et la demi-hauteur du cy- p|g. ^o,

lindre cherché (fig, ao), dont nous représenterons *la surface totale connue par 277/2'.

La Géométrie (voir iAl) donne immédiatement

4 71 xr -h 27r JF* = 2 îra*.

La relation

exprime ensuite que le cylindre est inscrit dans

la sphère. Les deux équations du problème sont donc

558 ALGÈBUE éLÉMENTÀIRE.

La première donne

et, si l'on substitue celte valeur dans la seconde équation, elle devient

Le système (i) est donc équivalent au système

Four être admissibles, les valeurs de x et de y^ fournies par le système (a), doivent être positives et moindres que R. La première condition de possibilité est donc, d'après la valeur de/,

La seconde équation du système (21) donne

et Ton voit que les valeurs de x* sont positives si elles sont réelles. Il faut, par suite, qu*on ait

d'où Ton déduit facilement

^,^Rl(v^-f-i)

Si cette condition est remplie, les deux valeurs de x' sont positives, et à chacune d'elles répond une valeur positive de x, de sorte que le problème peut admettre deux solutions.

D'ailleurs, pour que les valeurs positives de x soient admissibles, il faut et il suffit qu'elles soient à la fois moindres que R et que a* S'il en est ainsi, les valeurs correspondantes de / conviennent aussi; car, devant satisfaire en même temps que les valeurs de x à la première équation du système (2) et à la seconde équation du système (i], elles sont positives et moindres que R.

Les deux racines de Téquation

5X*— 2(fl*-H 2R»)x'H-rt* = 0,

considérée comme équation du second degré, étant supposées réelles et, par conséquent, positives, substituons a^ à la place de x* dans le trinôme

ALGÈBKE ÉLÉMEfî TAIRE. S^()

du premier membre. Le résultat de la substitution est

On doit donc distinguer deux cas, suivant que ce résultat est négatif ou positif.

Si l'on aa^<i R*, a' tombe (252) entre les deux valeurs de x*, racines de réquation, de sorte que ia plus petite de ces racines peut seule convenir.

Le problème admet alors une seule solution représentée par le système de valeurs

ar = + y ,

Si l'on a a* > R', a* est extérieur aux deux valeurs de x*, racines de l'équation : ces deux racines sont donc à la fois inférieures ou supérieures à a^. Or, dans l'hypothèse indiquée, la plus petite racine est toujours moindre que a^\ il en est donc de môme de la plus grande. En effet, si Ton multiplie les deux termes de la plus petite valeur de a?^ par la somme des quantités dont la différence compose son numérateur, son expression devient

tr

et, sons cette forme, le dénominateur étant évidemment plus grand que «*, on voit que cette valeur est moindre que -^ ou que ar*.

Mais il ne résulte pas de là que les deux valeurs de x^ soient admissibles, il faut encore qu'elles soient toutes deux inférieures à R^

Or, si l'on remplace x"^ par R' dans le premier membre de l'équation dont on discute les racines, on obtient

5R*-2(a'-+-aR»)R'4-û'=(R'--«')'.

Ce résultat étant essentiellement positif, R' est extérieur aux deux valeurs de a^^ c'est-à-dire que ces deux valeurs sont ensemble inférieures ou supérieures à R^, et alors leur demi^somme remplit la même condition.

Dans le cas de a^ > R', les deux valeurs de x' sont donc ou non admissibles, suivant que l'inégalité

,^ <R' ou fl»<3R" est ou non satisfaite ; mais, comme on a par hypothèso

a l'inégal ité précédente est a fortiori vérifiée.

5(>0 ALGÈBRE ÉLÉMEIÎTAIRE.

En résumé^ si à^ est < R', le problème n'admet qu'oDe solution. Si a*

•Dit /^ \

est compris entre R' et — — > le problème admet deux solutions.

Si «' est > — y le problème est impossible.

La valeur maximum de a^ est donc représentée par — ^-^— • Pour

celte valeur limite, on a

V lo V lo

et la surface totale maximum du cylindre inscrit a pour expression

ALGÈBBE ÉLÉMENTAIRE. 5Gl