THÉORIE ÉLÉMENTAIRE DES MAXIMUMS ET DES MINIMUMS
Définitions.
283. Lorsqu'une grandeur variable^ après avoir augmenlé d'une manière continue pendant un certain temps, diminue ensuite de la même manière, elle passe par une \ia\ei\r plus grande que celles qui précèdent ou qui suivent immédiatement. On dit alors que la grandeur considérée passe par un maximum.
Lorsqu'une grandeur variable, après avoir diminué d'une manière continue pendant un certain temps, augmente ensuite de la même manière, elle passe par une valeur p/a^;?^///^ que celles qui précèdent ou qui suivent immédiatement. On dit alors que la grandeur considérée passe par un minimum.
Examinons, par exemple, la section d'un terrain accidenté par un plan vertical, et rapportons les différents points du profil obtenu à une horizontale prise pour axe de comparaison, en abaissant des perpendiculaires des différents points du profil sur l'horizontale choisie.
Si l'on regarde comme grandeur variable la perpendiculaire qui représente la hauteur d'un point quelconque du profil au-dessus de a
l'axe de comparaison, on voit que le sommet d'une colline {Jig. 21) correspond à un maximum, le fond d'une vallée à un minimum. Le point A répond à un maximum, le point B à un minimum.
Remarquons que, d'après l'exemple même qu'on a choisi, une grandeur variable peut présenter plusieurs maximums et plusieurs minimums : un certain minimum peut donc être
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plus grand qu'un certain maximum. Il faut bien comprendre, en effet, que le maximum ou le minimum d'une grandeur n'est relatif qu'à la série des valeurs voisines, c'est-à-dire qui viennent immédiatement avant ou après.
284. Voici la marche à suivre, au point de vue élémentaire, pour trouver le maximum ou le minimum d'une grandeur variable.
£n représentant cette grandeur par une certaine lettre, on exprime sa valeur à l'aide des données et des inconnues du problème. On écrit ensuite toutes les relations qui, d'après l'énoncé, doivent lier ces données et ces inconnues. Si l'on regarde la grandeur variable comme une inconnue principale, et les autres inconnues comme des inconnues auxiliaires ou dépendantes, on doit obtenir alors une équation de moins qu'il n'y a d'inconnues, [n — i ) équations, par exemple, pour n inconnues. On élimine, entre ces (/i — i ) équations, {n — a) inconnues auxiliaires, et l'on est ainsi conduit à une équation finale qui ne renferme plus qu'une seule inconnue auxiliaire en même temps que l'inconnue principale. Cette équation doit être, en général, du second degré ou bicarrée. Si on la résout, par rapport à l'inconnue auxiliaire qu'elle contient, l'inconnue principale se trouve engagée sous un radical et, en écrivant la condition de réalité de l'inconnue auxiliaire, on a une inégalité d'où l'on peut déduire les limites qui sont imposées par la nature de la question à l'inconnue principale, c'est-à-dire son maximum et son minimum.
Les exemples que nous allons traiter éclairciront ces gêné* rai i tés.
Théorème fondamental.
285. La somme de deux facteurs variables étant constante, leur produit est maximum lorsque ces deux facteurs sont égaux entre eux ou à la moitié de la somme donnée (30, III).
Représentons par a la somme donnée, para? étales deux facteurs variables, par z leur produit variable dont on cherche le maximum : z est l'inconnue principale, x et ^sont les inconnues auxiliaires. On a, d'après l'énoncé,
xy = z^
c*est-à-dire deux équations et trois inconnues [Wh). En éliminant / = a — 0?, on a immédiatement
xla — x) = z ou x^ — ax -^ z = o» Il en résulte
La condition de réalité de l'inconnue x est donc
y — «>o, dou -3<Cy
z devant rester inférieur à y a pour limite supérieure ou pour
a* maximum cette même quantité. Pour ^ = ~r^ on a d'ailleurs
x= - et r=^a — X =: --
286. On pouffait prévoir l'existence d'un maximum. En effet, pour a: = o, on a
yz=a et 2 = o,
pour j; =1= ^9 on a
y=io et z = o.
Ainsi, Tun des deux facteurs, x et ^, variant de zéro à a, le ) produit J5 part de zéro pour revenir à zéro; entre ces deux limites, il passe donc nécessairement par un maximum (283).
287. // n'jr €L pas de produit minimum; car, si la valeur donnée à l'un des facteurs, x par exemple, dépasse la somme constante a, l'autre facteur y devient négatif et est d'autant plus grand en valeur absolue que x est plus grand positivement. Le produit z est donc lui-même négatif et peut, par conséquent, décroître algébriquement (214) jusqu'à — oo, sans que la condition de réalité de la variable x cesse d'être remplie.
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Applications.
?SS. Le théorème précédent fournit la solution immédiate d'un grand I OP.! lie de problèmes de Géométrie. Nous en indiquerons quelques-uns.
i" De tous les rectangles de même périmètre ip^ quel est celui dont relire est maximum ?
La somme de la base x et de la hauteur y du rectangle étant constaiii ment égale à py le produit xjr de ces deux dimensions ou Taire du re<
tangle est maximum, lorsqu'on a x = ^ = ^ , c'est-à-dire lorsque le rn
tangle devient un carré.
a" Inscrire dans un carré donné le carré minimum.
Soit le carré ABCD (fig, aa). Si l'on prend sur les différents côtés et
dans le môme sens quatre longueurs égales AE, BF, CG, DH, la figure
inscrite EFGH est un carré. En effet, tous les triangles rectangles, EBF.
FCG, GDIl, IL\E, sont égaux comme ayant un angle égal compris entre
deux côtés égaux : leurs hypoténuses sont donc égales. De plus, les angles
FEB et AEH sont complémentaires : l'angle HEF est Fig. 23. Jqjj^ jjj.^jj^ gj Ijj ggyj.g EpQH çg^ un ca-ré. Cela posé,
l'aire de ce carré est minimum, lorsque la somme des triangles rectangles qu'il faut lui ajouter pour compléter le carré donné, est maximum. Pour qu'il en soit ainsi, il suffit que l'un de ces triangles soit maximum. Or la somme BE + BF est constante et égale an côté du carré donné. Le produit EB x BF et, par suite, l'aire du triangle EBF sont donc maximums, lorsqu'on
a EB = BF. Il faut donc que les points E, F, G, H soient les milieux des
côtés du carré donné.
Il est évident qu'il n'existe pas de carré maximum dont les sommets
s'appuient respectivement sur les côtés du carré donné ; car, si l'on fait
croître le segment AE au delà du côté AB, on forme un carré exinscrit
dont l'aire peut augmenter indéfiniment.
3* De tous les triangles de même périmètre et de même base, quel est
celui dont l'aire est maximum?
Désignons par 2/7 et par a le périmètre et la base donnés. Soient beic
les deux autres côtés variables des triangles considérés et S leur aire. On a
'xp = a-h b -^ c et S = ^ p{p-'a)(p-~ b)(p — c) .
Le maximum de S^ se produit en môme temps et dans les mêmes conditions que celui de S. Comme le produit /?(/? — /i) est constant d'après l'énoncé, chercher le maximum de S' revient à chercher celui de
Mais les deux facteurs variables {p — b) ci (p — c) ont une somme con-
ALGEBRE ÉLÉMEIÎTAIIIR. 565
stante, puisqu'elle est égale à
p — b -h p -^ c = là/j — (b -h c) = a.
Leur produit est donc maximum lorsqu'ils sont égaux entre eux , ce qui entraîne la condition
Parmi tous les triangles proposés, le triangle d'aire maximum est donc le triangle isocèle.
4° Inscrire dans un triangle donné le rectangle d'aire maximum.
Pour inscrire (fig, a3) un rectangle EFGK dans un triangle donné ABC, il suffit de mener entre les côlés du triangle une parallèle FG à sa base et d'abaisser des points F et G des perpendiculaires FE et GK sur cette même base. Si le point F tend vers le sommet A, la hauteur du rectangle inscrit tend vers zéro, ainsi que son aire. Si le point F tend vers le sommet B, c'est la base du rectangle inscrit qui tend vers zéro en même temps que son aire. Entre ces deux limites de l'aire du rectangle, il existe nécessairement un maximum (283).
Désignons par 6 et ^ la base AC et la hauteur 6D du triangle donné, par X et 7* la base EK et la hauteur EFj du rectangle inscrit, par S l'aire de ce rectangle. On a évidemment
Bl
bl)
S = xx,
FG //-r
AC
ou
On déduit de la seconde équation
I^ première devient donc, par substitution,
Le rapport j étant constant, le maximum de S répond à celui du proïJiiit x(^ — x), c'est-à-dire, puisque les deux facteurs x et [b — x) ont
t. ne somme constante b. à x = -• On a alors r = -> et le maximum de S
. /;// a pour expression -r- •
Ainsi, pour avoir le rectangle inscrit d'aire maximum, il suffît de mener la parallèle FG à la base AC du triangle par le milieu de la hauteur BD, et cette aire maximum est la moitié de celle du triangle.
Voici une dernière application un peu moins simple.
566 ALGEBUE ÉLÉMENTAIRE.
Cône mînimTiin circonscrit à la sphère.
S89. Soient (fig. a4) un cercle OC et un triangle isocèle SBD circonscrit à ce cercle. Si l'on fait tourner la figure autour de Taxe SA, la ci^
conférence OC engendre une sphère et le triangle isocèle SBD un cône circonscrit à cette sphère. On demande pour quelle position du sommet S le Tolume du cône est un minimum. Ce minimum existe nécessairement; car, si le sommet S s'éloigne de plus en plus dans la direction du diamètre AG, le cône tend à se transformer en un cylindre de hauteur infinie et, par conséquent, de volume infini; si, au contraire, le sommet S se rapproche de plus en plus du point G, c'est la base du cône qui tend à devenir infinie en même temps que son volume. Entre ces deux valeurs infinies, le volume du cône circonscrit passe donc par un minimum (283). Désignons par x la hauteur du cône, par y le rayon de sa base, par Y son volume variable, par R le rayon de la sphère* On a immédiatement
V = i Tcfx.
On a ensuite, à cause des triangles rectangles semblables BAS, OCS, et de la propriété connue de la tangente,
