AB AS X

— ou ^ =

UC se R v^x(j: — aR)

On déduit de cette dernière relation

R'.r ^^ j: — aR*

La valeur de Y devient donc

3 X — -2 R IjQ facteur —5- étant constant , le minimum de V répond à celui de

OU au maximum de la fraction renversée j-^-

Celte dernière expression peut être mise sous la forme

ou bien, en multipliant et en divisant par 2R,

-L il/ 2R\ aR .r \ X J

On voit alors que le minimum cherché répond finalement au maximum du produit

Les deux facteurs de ce produit ayant une somme constante égale à i , son maximum a lieu pour

Il en résulte

— = 1 ou pour X = 4 R.

r=Rv/â et V=|7rRV

Ainsi le cône circonscrit de volume minimum a pour hauteur le double du diamètre de la sphère donnée, et son volume est double de celui de la sphère.

Comme les volumes des corps circonscrits à la sphère sont proportionnels aux surfaces des mêmes corps (vo/ria Géométrie , t. II), l'aire totale du cône circonscrit minimum est égale au double de l'aire de la sphère, et c'est aussi un minimum parmi les surfaces totales des cônes circonscrits. C'est ce qu'on peut d'ailleurs vérifier facilement.

En représentant par S la surface totale du cône circonscrit, on a, en effet, d'après la Géométrie,

(i) S = TT/ yj a? -4- j» -h tr^

et, d'après la similitude des triangles rectangles considérés précédemment {fis- >4),

y X yj x^ -\- y^

5 "" v/x(.r — 2R) ~ •^ — R 11 en résulte

^x^-h7'=-i-i~^ 1 et 7^ =

R -" x — aR

Si Ton substitue ces valeurs dans l'équation (i), on a, en chassant les dénominateurs,

SR(ar-aR) = 7r/{x-R)(j: — 2R)-+-irR'x;

mais

par suite,

SR(x — aR) = 7rR^-i?(x — R) -+- 7tR« jr.

On en déduit, en simpliBant,

ttR^ ^ Sx -i- aRS = o.

5GS ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

La condilion de réalité de x est donc (236)

S'— 87rR=S>o ou S>87rR».

Le minimum de S est donc SttR', et la valeur correspondante de x est (238)

27rR

Cas où le théorème fondamental est en défaut.

290. Il est essentiel de remarquer que le théorème fonda mental du n® 285 peut se trouver en défaut, si les limites im posées par la njture particulière de la question aux facteurs variables a: et j ne leur permettent pas d'atteindre la moitié de la somme donnée a.

Pour lever celte difficulté, qui se présente très-souvent dans les applications, nous donnerons, sous une forme particulière, une seconde démonstration du théorème dont il s'agit.

On a, d'une manière générale, Fidentité

La somme x H-/ étant supposée constante, on voit alors immédiatement que le maximum de 4^/ ou celui du produit or/ répond au minimum de (x-— j)'.

Lorsqu'on peut faire x=x, ce minimum est zéro, et l'on retombe sur l'énoncé du n° 285; mais, lorsque les limites imposées h X eik y rendent leur égalité impossible, cet énoncé doit être modifié comme il suit :

Si la somme de deux facteurs variables est constante, leur produit est maximum lorsque le carré de leur différence est minimum.

On peut ajouter que ce même produit est minimum lorsque le carré de la différence des deux facteurs est au contraire maximum,

291. Voici un exemple très-simple où l'on doit recourir à l'énoncé modifié.

On demande le maximum et le minimum du produit

(sin^ H- a) (7 — sin^r)-.

La somme des deux facteurs variables est constante et égale

.«I.GKBRE ÉLÉMENTAIRE. C)6g

à 9; le maximum du produit répondrait donc a l'égalité des deux facteurs, si cette égalité était possible. Or la relation

sin^ -t- 2 =1- 7 — sin:r,

conduisant à

ne peut être vérifiée par aucune valeur de x, puisque le sinus d'un arc a pour limites — 1 et -f- i [voir la Trigonométrie^ t. II).

Pour obtenir le maximum du produit proposé» il faut donc chercher le minimum du carré de la différence des deux facteurs, c'est-à-dire le minimum de

(2sin:c — 5!'.

Ce minimum ayant lieu pour la plus grande valeur positive de sinx, c'est-à-dire pour sinx^-f-i, le maximum du produit donné est 18 pour la même valeur.

De même, le minimum de ce produit répond au maximum de la même expression

(2 sînj?~5)S

qui a lieu pour la plus petite valeur négative de sinj:, c'està-dire pour sin J7 = — i ; le minimum cherché est donc 8 pour la même valeur.

Théorèmes déduits dn théorème fondamental.

292. I. Le produit de n facteurs positifs variables ayant une somme constante est maximum, lorsque tous ces facteurs sont égaux entre eux et à la n'**** partie de la somme con-^ s tan te.

Soient, en effet, a la somme donnée, j?,^, z,. . ., / les facteurs donnés et $ leur produit variable. On a

xyz ... t = (S.

Pour que $ représente le maximum cherché, il faut que deux facteurs quelconques du produit, x eiy par exemple.

^)yO ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE*

soient égaux entre eux; car, s'il n'en est pas ainsi, on peut

remplacer cliacun de ces facteurs par leur demi-somme -*

La somme a n'est pas modlGée, et l'on a, d'après le théorème du n» 285^

c'est-à-dire, en multipliant les deux membres de cette inégalité par tous les autres facteurs,

Tant que deux facteurs quelconques du produit formé ne sont pas égaux entre eux, on peut donc trouver un produit plus grand. Le produit obtenu ne peut donc être maximum que si Ton a

— — — — /— îf.

293. Le théorème précédent subsiste quand les facteurs proposés sont tous négatifs, mais en nombre pair. En effet, le produit 9 reste positif, et l'inégalité

entraîne encore l'inégalité

±ZLL tJZLLz,..t>9.

Si les facteurs proposés, tous négatifs, sont en nombre Impair,

l'inégalité

entraîne, au contraire (215, III) l'inégalité

En prenant tous les facteurs égaux entre eux, on obtient donc, dans l'hypothèse indiquée, un produit minimum.

ALGÈBRE ÉLÉMEfiTTAIRE. Sj I

294. Les n facteurs proposés étant positifs, le maximum du produit s'obtient (292) en faisant chaque facteur égal au n*^^

de leur somme constante ou à '-^ On a

donc, d'une manière générale et pour des valeurs quelconques

des facteurs,

xyz

Si Ton appelle, par analogie (Arithm.^ 397), moyenne proportionnelle de n quantités la racine n^^^ de leur produit, on voit en extrayant la racine n^"^ des deux membres de l'inégalité et en généralisant un théorème connu [Arithm.y 399) , que la moyenne proportionnelle de n quantités est inférieure à leur moyenne arithmétique [Àrithm.^ 198).

295. Il est entendu que le théorème du n*" 292 est soumis aux mêmes restrictions que le théorème fondamental dont il est une conséquence immédiate. Si les facteurs proposés doivent non-seulement présenter une somme constante, mais encore satisfaire à d'autres relations, le maximum possible de leur produit est, en général, différent de celui qu'on vient d'indiquer, et alors toujours plus petit.

Il n'y a identité entre les deux résultats que lorsque les relations auxiliaires auxquelles les facteurs variables se trouvent soumis sont satisfaites d'elles-mêmes par les valeurs égales de ces facteurs; car, dans ce cas, ces relations n'expriment aucune condition contradictoire relativement à la règle énoncée*

296. En particulier, si l'on a (/) + ç -♦- r) facteurs variables, dont la somme constante soit égale à a et qui soient astreints, en outre, à la condition de se partager en trois groupes contenant respectivement/? facteurs, q facteurs et r facteurs égaux entre eux dans chaque groupe, le théorème du n* 292 reste

applicable.

Si l'on veut préciser davantage, on peut remarquer (') que

le produit

(i) œyz,.. t9

(') Lettre de M. Hatoh db la Goupilliëbe {Nouvelles jinnales de Mathéma^ tiques y t. VII, 3* série).

OÙ les (/> + 9 + r) facteurs donnés sont indépendants, sauf la constance imposée à leur somme a, est plus général que le produit

N (X)MV)'{z)',

où les facteurs considérés présentent la même somme> mais ne peuvent prendre, les uns par rapport aux autres, que trois valeurs différentes. Le produit (i) offre donc, parmi ses valeurs, toute la série de valeurs du produit (2], tandis que le produit (2) ne peut admettre qu'une partie des valeurs du produit (i). Par conséquent, on est ceruin que le produît(i) peut atteindre le maximum du produit (2), mais il n'est pas permis d'affirmer d'avance la réciproque. Pour que cette réciproque ait lieu, il faut prouver que le produit (2] peut, dans ses différents états, atteindre celui pour lequel le produit (i) est maximum. Or rien n'empêche de faire

en même temps que

Comme on obtient ainsi le maximum du produit (1) et que le produit (2) devient alors identique au produit (i), on voit que la même règle est bien applicable aux deux produits.

297. II. Les facteurs positifs variables, x^ y, z ayant une somme constante égale à a, et les nombres p, qy r étant entiers et positifs, le produit x^y^z'' est maximum lorsque les facteurs x, y, z sont proportionnels à leurs exposants p, f , r«

On ne modifie pas le produit considéré en le multipliant ei en le divisant par la quantité constante /t'^ç^i'; mais chercher le maximum de l'expression

xPy^z''

pPn'ir^ :

'^ ^ pfqii'

revient évidemment à chercher celui de l'expression

xpyiz'' ^

pPqir^ • car les deux séries de valeurs obtenues en faisant varier

ALGEBRE ÉLÉMENTAlIRE. $73

x^Xf Zy dans les limites imposées par la relation

ne différant que par un facteur constant, le maximum a lieu dans les deux cas pour les mêmes valeurs des facteurs variables. Or la seconde expression indiquée équivaut à

Ce produit est donc composé de p facteurs égaux à -9 de

q facteurs égaux à -» de r facteurs égaux à -» c'est-à-dire de

(/> 4- ç -+- r) facteurs présentant seulement, les uns par rapport aux autres, trois valeurs différentes, et formant une somme égale à

La condition du maximum est donc finalement (296)

p^q~^r~'p'Jrq'^r

d'où

ap aq ar

. Le théorème, qui s'étend à un nombre quelconque de facteurs, est donc démontré, et Von obtient les valeurs des facteurs X, yy Zf qui répondent au maximuniy en partageant la somme donnée a proportionnellement à leurs exposants

Pf Çf r.

On peut résoudre immédiatement, à l'aide des théorèmes l et II (292, 297], un grand nombre de problèmes de Géométrie : nous en indiquerons quelques-uns.

Applications.

i98. i** De tous les paraliéiipipédes rectangles de même surface, le cube est celui de volume maximum.

Soient S la surface constante, V le volume variable et x, y^ z les dimen-

574 ÀLGÈBKE ÉLÉMENTAIHE.

BiODS variables des parallélipipèdes rectaDgIes considérés. On a

S = a j:^ -H axz -t- a/z ou xy-^ xz -^ jrz = -y en même temps que

V = xjrz ou V = x^y^T} = xyxzyz.

y* ou y est donc maximum (292) lorsque les trois facteurs xy^ <a:z, jz, dont la somme est constante, sont égaux entre eux ; et, de x^ = xz =/z on déduit

On a alors, pour Taréte du cube dont le Tolume représente le maximum demandé,

3x* = - ) d*où x = kI-e}

et, pour son volume.

a* De tous les rectangles de même périmètre a/7, quel est celui pour lequel le cylindre engendré par la rotation du rectangle autour d'un de ses côtés a un volume maximum ?

Désignons par xeiy les deux dimensions du rectangle, par Y le volume variable du cylindre engendré par la rotation du rectangle autour du côté X ou du côté y. Si or ou 7 est très-petit, le volume du cylindre engendré est lui-même très-petit, parce que sa base ou sa hauteur est trèspetite. Entre ces deux valeurs, dont les limites sont zéro, le volume du cylindre doit donc bien passer par un maximum.

On a les deux équations

x-^y = p et V = Tra:'/;

ir étant un facteur constant, la question est ramenée à chercher le maximum du produit x'/, sachant que les deux facteurs x et ^ ont une somme constante p. La condition du maximum est donc (297)

^ y P Ay K ^P P

- = «^ = ^> d'où Jr=-f> X=^* a I 3 3 •' 3

Le volume du cylindre maximum est alors

Y==.^-PlE^Li^p^,

3** Inscrire dans une sphère donnée le cylindre de volume maximum*

Fig. a5.

En désignant (Jig. 26 ) par R le rayon de ]a sphère donnée, par Y le volume variable du cylindre inscrit, par x le rayon de sa base et par y sa demi*hauteur, on a immédiatement

V=a7r:c»j et x'-^-y=R^

air étant un facteur constant, la question est

ramenée à chercher le maximum du produito:'/;

mais, au moment où ce produit atteint son

maximum, il en est évidemment de même de

son carré ar*jr', qu'on peut écrire [x^Yy^. Les

deux facteurs x* et 7' ayant R' pour sonmie constante, la condition du

maximum est alors (297)

d*où

= Ry^ et r = Ry/5-

Rv/3

Fig. 26.

La hauteur ^y du cylindre inscrit maximum est donc les ^ du côté du

triangle équilatéral inscrit dans une circonférence de grand cercle, et son volume a pour expression

4** Inscrire dans un cercle donné le triangle isocèle d^aire maximum. Menons (fg. 26) un diamètre AD. D'un point C quelconque de la circonférence, abaissons sur ce diamètre la perpendiculaire CB. Le triangle ACB est un triangle isocèle inscrit. Si le point G se rapproche indéfiniment du point A ou du point D, Taire du triangle tend vers zéro. Entre ces deux valeurs limites, cette aire passe donc par un maximum.

Désignons par R le rayon du cercle donné, par 2x la base et par y la hauteur du triangle isocèle inscrit. Son aire variable étant représentée par S, on a les deux équations

S = x/ et x* = ^(2R— ^).

La question est donc ramenée à chercher le maximum du produit xy ou, ce qui revient au môme, de son carré xi^y^. Si Ton remplace x' par sa valeur déduite de la seconde équation, on voit qu'on a finalement à chercher le maximum de l'expression

5y6 ALGEBRE ÉLÉMEJN TAIRE.

qui est comi)osée de deux facteurs, Tun^^, élevé au cube, l'autre (tiR— 7), élevé à la première puissauce. Ces deux facteurs ayant une somme constante aR, la condition de maximum est (297)

r lU — r aR R ^, V 3R

Le triangle isocèle d*aire maximum se confond donc avec le triangle

équilatéral inscrit.

5* Inscrire dans un cône donné le cylindre de volume maximum. Soient [fif^. 27) le triangle rectangle SBA et le rectangle inscrit DEFfi.

Si l'on fait tourner la figure autour du côté SB, le triangle engendre un cône et le rectangle un cylindre inscrit dans ce cône. Si le point D se rapproche indéfini ment du sommet S ou du sommet B, le volume du cylindre inscrit tend vers zéro. Entre ces deux valeurs limites, son volume doit donc bien passer par un maximum.

Désignons par r le rayon de la base du cône et par h sa hauteur, par x le rayon de la base du cylindre inscrit, par y sa hauteur, par Y son volume variable. On

a immédiatement les deux équations

V = itx^Y et - = —r^ *^ r h

OU

Le facteur tt étant constant, on doit rendre maximum le produit a^y ou, en remplaçant y par sa valeur en fonction de x, on doit rendre maximum l'expression

-x^(r—x) ou j:'(r — jf),

puisque - est un facteur constant; mais les deux facteurs x et (r — x) ayant r pour somme constante, la condition du maximum est (297)

- = =:-, d*où x = -5- et y — T:"

Le cylindre inscrit maximum a donc pour hauteur le tiers de la hauteur du cône, et son volume est

Fi(y. 28.

Boîte carrée ou polygonale de volume maximum.

299. O/i donne une feuille de carton présentant la figure d'un carré ou d'un polj'gnne régulier, et l'on demande de construire avec cette feuille la boite de volume maximutn.

Soit d'abord le carré ABCD {fig. 28). Pour construire avec ce carré une boîte de volume quelconque, il faut mener quatre parallèles EF,GH, IK, LM, aux quatre côtés du carré et à égale distance de ces côtés. On enlève les quatre carrés A^, Bè, Ce, Dr/, ainsi déterminés sur les angles, et, en relevant les quatre rectangles laissés en blanc sur la figure, on forme une boîte ayant pour fond le carré nbcd.

Cela posé, désignons par 2/ le côté AB et par X la dislance AE. Le volume variable V de la boîte, qui est un parallélipipède rectangle de base ubcd et de hauteur x, a pour expression

La somme des facteurs (/ — j:) et x étant égale à la quantité constant /, la valeur de x, qui correspond au maximum de V, satisfait à la relation

,, , l 'Xl

dou x--=^-^-., 6 G

Le volume de la boîte maximum est donc

Fig. 29.

Supposons maintenant que la feuille de carton donnée ait la forme d'un polygone régulier (fig, 29). On inscrit dans ce polygone un polygone régulier semblable et somblablement placé, ayant même centre 0, et Ton abaisse des soramels de ce nouveau polygone des perpendiculaires sur les côtés voisins du polygone enveloppant. On enlève les quadrilatères ainsi construits sur les angles, on relève les rectangles laissés en blanc sur la 1 figure, et l'on obtient une boîte prismatique ayant pour base le polygone inscrit et pour hauteur Tune des ])erpcndiculaires abaissées de ses différenis sommets.

Soient n le nombre do côtés du polygone donné, p son apothème OH, y Tapothème 01 du polygone inscrit, jr la différencft des deux apothèmes, / et /' les côtés des deux polygones

Dk C. — Cours. 1. 87

t>y8 ALGÈBBE ÉLÉMENTAIRE.

considérés. En désignant par V le volume variable de la boîte, on a immédiatement

On en déduit

l'=-Y et V = — xy^,

La question est donc ramenée à chercher le maximum du produit xr', sachant que la somme (j: + j) est constante. La condition du maximum est donc

Le volume maximum a, par suite, pour expression

V = —pH.

Méthode Grillât.

300. II arrive souvent que le maximum cherché répond à celui d'un produit de plusieurs facteurs dépendant d'une seule variable, et dont la somme est constante, mais qui, par suite des conditions de renoncé, ne peuvent pas être égaux entre eux. Les théorèmes des n^* 292 et 297 ne sont plus alors applicables, au moins directement. On tourne, dans ce cas, la difficulté à Taide d'un artifice très-ingénieux, dû à M. Grillet (*).

Les deux exemples suivants nous permettront d'exposer cette méthode.

301. I. On donne une feuille de carton rectangulaire y et on demande de former avec cette feuille la botte de volume maximum.

Désignons {fg. 3o) par za et a 6 les dimensions du rectangle donné, et supposons b^a.

En opérant comme au n*" 299, on forme une botte dont le volume variable V est celui d'un parallélipipède rectangle ayant pour base le rectangle abcd et pour hauteur le côté x des carrés Aa, B6, Ce, Dcf, enlevés sur les angles de la feuille. On a donc

V= (2a — 2.x) (26 — 2a;)d: = 2 [a — x) [b — x] iXy

(') Nouvelles Annales de Mathématiques, i'® série, t. IX et XVL

ALGÈBRE ÉLÉMENT AIUE.

et Ton peut dire que le maximum de V répond à celui du produil (a — x) [b — x)2x. La somme des trois facteurs de ce produit est bien constante, puisqu'elle est égale à (a -h b) ; mais ces trois facteurs ne peuvent être égaux entre eux.

De

on déduit, en effet, a = 6; ce qui est contre l'hypothèse.

Prenons alors

V = 4 (^ — ^) (^ — x)Xi

et, en laissant de côté le facteur constant 4» cherchons par la méthode Grillet le maximum du produit

Nous ne modifierons pas ce produit, en le multipliant et en le divisant par un même nombre. Soient donc a et ^ deux coefficients dont la valeur est supposée constante , mais indéter-^ minée. Nous pourrons écrire

[a — x) Ib — x) X =^ ^a{a'-x)&{b — x)x.

Le maximum demandé dépend simplement de celui de l'expression

Disposons de l'indétermination des coefficients auxiliaires a et p, de manière à rendre constante la somme des trois facteurs proposés. Il suffit pour cela que cette somme ne contienne pas X ou que, dans cette somme, le coefficient de cette variable soit nul, c'est-à-dire qu'on ait

Ceue égalité peut être satisfaite par une infinité de valeurs de a et de |3 ; mais, parn^i toutes ces valeurs, nous ne devons choisir que celles qui rendent égaux entre eux les facteurs du produit dont on cherche le maximum. On doit donc poser en

58o ALGÈBRE ÉLÉMEKTÀIUC.

même temps

Les relations (i) et (2) nous donnent ainsi trois équations entre les inconnues auxiliaires a et ^ et l'inconnue principale X, dont la valeur trouvée à Paide de ces équations est précisément celle qui correspond au maximum du produit considéré ou au maximum de V.

On voit pourquoi le nombre des coefficients arbitraires employés doit être inférieur d'une uniié à celui des facteurs variables, c'est-à-dire égal à (n— i) s'il y a n facteurs. En écrivant que ces n facteurs sont égaux entre eux, on obtient, en effet, [n— i) équations, et, en y ajoutant celle qui exprime que la somme des n facteurs est constante , on a autant d'équations que d'inconnues, en comptant la variable principale X.

Revenons aux relations (i) et (2). Pour en déduire x, il faut éliminer oc et j3. La relation (2) donne immédiatement

et, en substituant ces valeurs dans l'équation (i), on trouve pour équation finale

c'est-à-dire, en chassant les dénominateurs et en simplifiant, (3) 3j;' — 2 (a -f- é) a: -4-fl6 = 0.

D'après la forme de cette équation, si ses racines sont réelles,

elles sont toutes deux positives. La condition de réalité, qui

est ici

(<i-|-é)»— 3a6>o ou a*4-6'>a6,

est évidemment satisfaite; car, b étant plus grand que a, 6' est plus grand que ab. 11 reste à distinguer entre les valeurs de jt, qui ne peuvent convenir toutes les deux. Or on ne doit faire varier jp que de zéro à «, moitié du plus petit côté du rectangle^ puisque les valeurs de x comprises entre a et 2a reproduisent nécessairement les volumes déjà obtenus en faisant varier x de zéro à a. On est ainsi conduit à substituer a dans le premier

ALGÈBKE ÉLÉMESTAIHE.

membre de Téquation (3). Le résultat de cette substitution (tf — ab) étant négatifs on voit que a est compris entre les deux racines positives de Téquation, et que, par conséquent, c'est la plus petite de ces racmes qui convient seule à la question. On a donc, pour le maximum.

a-h b — sj[a -+- 6 )' — \\nb a -h b — \/a' -^ ab -^ ô'

On vérifie ce résultat en revenant au carré (299), c'est-à-dire en faisant é = a. On retrouve bien, dans cette hypothèse,

302. II. Inscrire y dans une sphère donnée^ le cône d'aire totale maxi' nium.

Considérons [fig. 3i) le cône inscrit, engendré par le triangle rectangle) ACS. Nous désignerons par R le rayon de la p. ^^ sphère donnée, parx Vapothème AS du cône, par^ la corde AB, supplémentaire de l'apothème AS, par 2 l'aire totale variable du cône inscrit. La Géométrie permet d'écrire

2 = 7rAC.AS-f ttÂc',

XC' = CS.CB=:44= VÏ^ e* AC=:^. '

ïi

TT

Il en résulte

D'ailleurs,

.r=-f-r'=-: 4R% d'où x'^ 4R=-/=. (2R-^)(aR-4-/).

On a donc finalement

TT

f.a question est ainsi ramenée à chercher le maximum du produit

(aR-7)(2RH-7)*jr

ou, ce qui revient au même, en multipliant le premier facteur par 3, du

produit

(6R-3j^)(aR^j)(2R+j^)r.

Si l'on efloctue alors la somme des quatre facteurs, on trouve qu'elle

582 Ar.GÈBllE ÉLÉMEIÏTAIIIE.

est constante et égale à loR; mais, comme il est impossible d'ayoir ;'= aR -4-^, ces facteurs ne peuvent être égaux entre eux. Il faut, par conséquent, recourir à la méthode Grillet, en reprenant le produit

(2R-y)(aR-h/)(aR-hr)r.

Nous multiplierons le premier facteur (aR — y) par le coefficient arbitraire a, cb^icun des deux facteurs égaux à (aR +7*) par le coefficient arbitraire ^, et nous aurons à chercher le maximum du produit

a(aR-j) P(aR-T-r) P(aR -h/)^.

Si Ton fait la somme des quatre facteurs, le coefficient de la variable/ dans cette somme est (a^ — a + i ). On doit donc poser, comme on l'a expliqué dans Texemple précédent,

(i) ap — - a -h I = o.

On doit écrire ensuite que les facteurs considérés sont égaux entre eux, d'où

(a) a(aR-r)-p(aR-hr)-r.

Cette seconde relation donne

aR — r ^ aR-hr

et, en portant ces valeurs dans Péquation (i), il vient

aR-hj^ aH— j

c'est-à-dire, en chassant les dénominateurs et en simplifiant, (3) a/»-Rr-2R' = o.

Les deux racines de cette équation sont réelles; mais la racine positive peut seule convenir, et il faut encore qu'elle soit moindre que aB. On a pour cette racine

Telle est la valeur qu'on doit donner à jr pour obtenir, parmi tous les cônes inscrits dans la sphère donnée, celui dont Taire totale est maximum.

ALGÈBRE ÉLÉMEIfTATRE. 583

Théorème inverse da théorème fondamental.

303. Le produit de deux fadeurs variables x et y étant égal à une quantité constante p, leur somme est minimum lorsqu'ils sont égaux entre eux et à ^p.

Si Ton désigne par u la somme variable des deux facteurs, on a les deux équalions

(il) x-\'jr=zu.

L'équalion (i) donnant j= ^, Téquation (2) devient

P a:-4-- = M ou x^ — ux -h p =0.

On en déduit

La condition de réalité de x étant

y— /?>>0 OU U'^2^p,

le minimum de la somme u est 2 y^p et, pour cette valeur mi-

nîmum, on a x = x^= \lp\ ce qui justifle l'énoncé.

Il n'y a pas de maximum pour la somme u. Si l'on fait croître indéfiniment le facteur Xy la somme x -^ jr=^u croît

elle-même sans limite, tandis que le facteur j = ^ diminue à

mesure que x augmente, sans que les deux facteurs cessent d'être réels.

304-. Le théorème qu'on vient d'établir, et qu'on peut généraliser comme celui du n*^28S, est soumis aux mêmes restrictions que ce dernier.

Pour qu'il demeure applicable, il faut que les variables ;r

et j^ puissent, en effet, devenir égales à y//'; ce qui n'aura pas lieu ordinairement, si ces variables doivent satisfaire à d'autres relations quo la relation xr = p.

584 ALGÈBIIR ÉLÉMENTAIHE.

305. Au lieu de suivre la marche précédente (303), on peui poser ridcntité

On voit alors immédiatement que, le produit xy étant constant par hypothèse, le minimum de la somme [x -h y) répond, dans tous les cas, au minimum du carré cle la différence (x — y), minimum qui est zéro pour x=y, si cette égalité est possible.

De même, le maximum de la somme [x-^y] répond au maximum du carré delà différence [x-^ y). Ce maximum n'existe donc pas en réalité, si Ton peut faire croître x indéfiniment; mais on le reconnaît, au contraire, au caractère indiqué, lorsque^ et j sont astreints à d'autres conditions qui limitent leurs variations.

306. On peut encore employer un troisième mode de démonstration, qui conduit à une généralisation importante.

11 résulte du théorème du n** 285 que, si la somme de deux

facteurs variables est constante et égale à ^^p^ et qu^aucune autre condition ne leur soit imposée, leur produit est maximum lorsqu'ils sont égaux entre eux et à \/p, de sorte que ce produit maximum est p.

On en conclut que, pour qu'un produit de deux facteurs variables soit égal à p, il faut que leur somme soit au moins

égale à 2^/?; car, si cette somme est inférieure à cette quantité, le produit maximum des deux facteurs, qui a lieu quand chacun d'eux représente la moitié de la somme donnée, est nécessairement inférieur à p.

On voit donc que, lorsque le produit de deux facteurs variables est donné égal à p, le minimum de leur somme

est ay/^; et, pour cette valeur de leur somme, les deux facteurs sont nécessairement égaux entre eux.

Réciprocité des problèmes de mazimum et de minimnm.

307. Le théorème que nous allons énoncer généralise les considérations précédentes.

Soient deux quantités variables X et Y, entre lesquelles existe une certaine liaison déterminée. Si, pour une valeur B

algLbiie É].i!:MKnTAiiii':. 585

donnée à Y, la valeur maximum de \ est A, réciproquement, pour la valeur A donnée à X, c'est-à-dire dans les mêmes circonstances, la valeur minimum de Y est B. Il faut d'ailleurs, pour qu'il en soit ainsi, que le maximum possible de X diminue en même temps que la valeur particulière assignée à Y.

En effet, si l'on attribue à Y une valeur 6<;B, la valeur maximum que peut atteindre concurremment X est, par hypothèse, moindre que A. Donc, si X reçoit la valeur A, parmi toutes les valeurs qu'on peut donner en même temps à Y, aucune ne peut être inférieure à B, c'est-à-dire que B est le minimum de Y.

308. Cette proposition permet, dans certains cas, de traiter, pour ainsi dire, les questions de maximum et de minimum en partie double. A chaque problème de maximum ou de mi nimum répond un problème inverse de minimum ou de maximum, si la condition indiquée à la fin de l'énoncé précédent se trouve remplie. Nous allons formuler, d'après cette loi, quelques résultats remarquables.

La somme de n facteurs positifs variables étant constante, nous avons vu (292) que leur produit maximum a lieu lorsqu'ils sont tous égaux entre eux et à la n^^* partie de leur somme constante, de sorte que, cette somme diminuant, il en est de même du produit maximum.

On peut donc dire immédiatement que, le produit de n facteurs positifs variables étant constant, leur somme est minimum lorsqu'ils sont tous égaux entre eux et à la racine n/^»* de leur produit constant,

La somme de plusieurs facteurs positifs variables x, y, z étant constante, nous avons vu (297) que le produit xfpz' est maximum lorsque les facteurs x, y, z sont proportionnels à leurs exposants, de sorte que ce maximum diminue en même temps que la somme donnée.

On peut donc dire que, le produit xfy^z'' étant constant, la somme des facteurs positifs variables x, y, z est minimum lorsque ces facteurs reçoivent des valeurs proportionnelles à leurs exposants.

Nous avons vu (298, 5°) que le volume du cylindre de révolution inscrit dans un cône de révolution donné est maximum, lorsque la hauteur du cylindre est le tiers de celle du

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cône ou le rayon de la base du cylindre les deux tiers du rayon de la base du cône, de sorte que le volume du cylindre maximum diminue en même temps que le volume du cône donné.

On peut donc dire, réciproquement, que le volume du cône de révolution circonscrit à un cylindre de révolution donné est minimum, lorsque la hauteur du cône est trois fois celle du cylindre.

Ces exemples suffisent pour montrer le parti qu'on peut tirer du théorème du n® 307.

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