DES FONCTIONS
Définitions.
309. Lorsque deux grandeurs variables sont tellement liées entre elles que, à chaque valeur de Tune, corresponde une ou plusieurs valeurs déierminées de Tautre, les grandeurs considérées sont à\\Qs fonctions l'une de Tauire.
Ainsi» l'aire d'un cercle est fonction de son rayon, et le rayon d'un cercle est fonction de son aire. La liaison entre les deux grandeurs est exprimée par la relation connue
cercle R = 7rR'.
On regarde, à volonté, l'une des deux grandeurs proposées comme variant d'une manière arbitraire, et on lui donne le nom de variable indépendante. On réserve alors le nom de fonction à l'autre grandeur dont les variations résultent de celles de la première, d'après la loi qui régit leur liaison.
Représentons, par exemple, par x la variable indépendante et par y la fonction. Leur dépendance mutuelle pourra être exprimée par une équation de la forme
F est l'initiale du mot fonction, et l'on énonce cette relation en disant que T'est égale à une fonction de x.
310. Une variable est continue dans un certain intervalle, lorsqu'elle ne peut passer de sa première valeur à la dernière sans parcourir toutes les valeurs intermédiaires.
Une fonction est continue dans un certain intervalle, lors-
que )a variation continue de la variable dont elle dépend lui impose dans cet intervalle une variation elle-même continue.
Dans le cas contraire, c'est-à-dire lorsque la fonction saule brusquement d'une valeur à une autre plus ou moins éloignée sans parcourir les degrés intermédiaires, la fonction est discontinue.
D'après ces définitions, toute fonction continue varie par degrés aussi petits qu'on veut quand la variable dont elle dépend remplit la même condition.
y^=iax^ Qs\ une fonction continue de a:; car, si l'on donne à ^ un accroissement /i, y prend un accroissement égal à la différence
a[x -\- hy — ax^ = ah [ix -f- A),
et, quand l'accroissement li de la variable tend vers zéro, il en est de même de celui de la fonction.
311. Discuter les variations d'une fonction /-, c'est étudier sa marche lorsqu'on fait croître la variable indépendante x d'une manière continue, depuis -— oo jusqu'à -hoo ; c'est, en particulier, déterminer les maximums et les minimums de cette fonction, c'est vérifier sa continuité ou indiquer les va* leurs de x où sa discontinuité apparaît.
312. On facilite ou l'on éclaire cette discussion à Taide de la représentation graphique des valeurs correspondantes de la variable et de la fonction.
Cette représentation graphique est le procédé qu'on emploie en Géométrie analytique et sur lequel cette partie de la science mathématique est fondée. Nous y reviendrons plus tard avec tous les détails nécessaires. Nous voulons seulement, dans ce Chapitre, initier le lecteur, par quelques exemples simples, à cette méthode si im(K)rtante et si féconde qu'on applique aujourd'hui constamment dans les arts pour résumer les expériences et découvrir, au moins approximativement, les lois des phénomènes qu'on étudie.
Voici en quoi consiste le mode de représentation dont il s'agit.
On trace [fig.Zi] deux axes rectangulaires indéfinis xOx', /Oy. Sur le premier axe xOx\ on compte, à partir du point 0, les valeurs de la variable x, qu'on représente par des longueurs proportionnelles, mesurées à l'aide d'une certaine échelle prise pour unité. Ces valeurs de x (ou abscisses) sont portées à droite du point 0 quand elles soui positives, à gauche de ce point quand elles sont négatives. C'est là une application toute naturelle du principe de Descahtes (203) sur l'opposition de signe marquée par l'opposition de sens.
ALGECRE ÉLÉMEKTAIUE. 58()
Aux différents points déterminés sur l'axe xOx' par les valeurs successives de la variable x, on mène à cet axe des perpendiculaires sur lesquelles on compte de la môme manière les valeurs de la fonction y qui correspondent aux valeurs donm'es de x. Lorsque les valeurs de j (ou ordonnées) sont positives , on les porte r/«-r/e.vj«j de l'axe j:Ox'; lorsqu'elles ^'
sont ni'f^atives^ on les porte au-des- '"'
soiis de cet axe. Remarquons que ces ^
valeurs de y peuvent être en réalité ^. -^1
mesurées sur Taxe yOy à partir du I "^ , '
point 0, et reportées ensuite sur les ^, — I — — \
perpendiculaires tracées par les différents points choisis sur l'axe xOx',
Ces constructions étant effectuées, !
si l'on unit par un trait continu les .^1
extrémités M des différentes perpendiculaires PM obtenues, on a (^g. 32) une courbe AB, qui est la courbe représentative de la fonction /= ^{^)- Cette courbe montre, en effeti immédiatement, par la simple comparaison do V abscisse à V ordonnée, comment sont liées entre elles les variations des deux grandeurs proposées.
313. Quand l'équation / = F(x) est donnée, on peut l'étudier directement, sans construire la courbe représentative, bien que celle-ci offre l'avantage indiscutable de réunir comme en un tableau tous les résultats fournis, plus ou moins péniblement, par la discussion algébrique.
Mais il arrive très-souvent que la loi à laquelle obéissent les variations simultanées de x et de j n'est pas connue, et qu'on possède seulement une Table o\ï sont inscrites quelques valeurs correspondantes des grandeurs considérées données par l'expérience immédiate. Dans ce cas, la fonction manifestée par les nombres de la Table est une fonction empirique. Il est alors indispensable de construire la courbe graphique qui répond à ces nombres. Ce n'est que de cette manière qu'on peut être mis sur la voie de la fonction qui existe réellement, et qu'on peut obtenir approximativement les nombres intermédiaires non insérés dans la Table en mesurant sur l'épure les ordonnées qui répondent à des abscisses quelconques. On peut, en outre, contrôler l'exactitude des expériences exécutées, en se rappelant que les lois naturelles revêtent en général le caractère de la continuité, au moins dans certaines limites, et en examinant à ce point de vue les anomalies dénoncées plus nettement par le tracé de la courbe.
OQO ALGÈBRE ÉLÉMEJNTÀIRE.
Étude des variations du trinôme du second degré.
Sik. Soit à étudier les variations du trinôme du second degré ax^ -h bx -h c, lorsque la variable x parcourt toute l'échelle des grandeurs réelles de — oo ek -f- oo .
Nous supposerons le coefficient a positifs et nous distinguerons trois cas suivant la nature des racines du trinôme égalé à zéro.
1° Les racines x' et x" du trinôme égalé à zéro sont réelles et inégales (6' — ^ac'^o).
En désignant par ^ la fonction donnée, on peut poser (309]
( I ) y = ax* -h bx -\- c =^ a (x — x'][x — x")
ou
(:») jr = a\{x+^y-
ft' — 4 acl
Pour a: =^—00 , on a donc, d'après la relation (2), j^=-t-oo, et Ton voit en même temps que, à mesure que x augmente, ^ diminue en restant d'abord posiiif (21H)*
Si la plus petite racine est x'\ la relation (i) montre que/ s'annule une première fois pour a: = a:*' et une seconde fois ipour x = x'. Entre ces deux valeurs de Xy y devient négatif (252) et, parlant de zéro pour revenir à zéro, passe par un minimum algébrique.
Ce minimum correspond, d'après la relation (2), à la valeur
de X qui annule le carré renfermé dans la parenthèse du second
b , jr'-h jr^ membre, c'est-à-dire à x = ou (242) k x = •
Ce minimum de /a donc pour expression
h^ — ^ac
Au delà de :r = x', y redevient positif et croît indéfiniment depuis zéro jusqu'à + 00 , pendant que x croît lui-même depuis x" jusqu'à -h 00 .
On peut, d'après celte discussion, dresser le tableau suivant, qui indique les valeurs simultanées les plus remarquables de X et de /et la marche des variations de ces deux quantités.
ALGÈBRE ÉLÉMKNTAiaE.
croît
décroît
croît
décroît
b^ — ^ac p valeur 4fl Lmmimum
croît
croît
croît
croît
Si Ton veut maintenant construire la courbe des variations de la fonction, on trace (Jig, 33) deux axes rectangulaires xOxf etjO/', et l'on opère comme on vient de l'expliquer (312).
Supposons que les abscisses OA et OB représentent xf %i xf^ et que, le
Fig. 33.
KK
Ol A^lir ~^C Tk B ^
point C étant le milieu de AB, l'ordonnée négative CM représente le mi-
de la fonction 7.
nimum
Il résulte de ce qui précède que, si l'on suit les valeurs de x de — « à H- 00 , la courbe représentative vient de très-loin et de très-haut vers la gauche, descend jusqu'au point A, où elle coupe Taxe des x, puisqu'on a
ÂLGÈBUE ÉLÉMEKTAIRE.
alors j = o, passe au-dessous de cet axe et continue de descendre jusqu'à ce qu'elle atteigne le point M, dont Tordonnée négative représente le minimum de j, remonte jusqu'au point B, où elle traverse de nouveau Taxe des x, pour s'élever ensuite et s'étendre indéfiniment au-dessus et vers la droite de cet axe.
Celte courbe est, comme nous le verrons plus tard, une parabole du second degré. Elle est symétrique par rapport à la parallèle MC à l'axe yOy', La relation (2) le prouve immédiatement; car, si l'on remplace
successivement x par ha et a, c'est-à-dire si l'on consi-
^ art 2fl
dère deux abscisses OK et OH différant de Tabscisse OC d'une môme
quantité quelconque a en plus ou en moins, les valeurs correspondantes
dej^' sont égales entre elles.
2** Les racines x' et od' du trinôme égalé à zéro sont réelles et égales (6* — ^ac=^o),
La discussion précédente subsiste; seulement» ^r' et or^ se confondant, rintervalle correspondant disparaît et le minimum de y est zéro.
Quanta la parabole représentative [fg, 33), elle est tout entière située au-dessus de l'axe xOx', et elle est tangente en C à cet axe.
3° Les racines x' et x" du trinôme égalé à zéro sont imaginaires (6* — ^ac<^o).
La discussion précédente subsiste encore; seulement, Ja
Fig. 34.
quantité b^—^ac étant négative, la relation (2) montre que r est la somme de deux quantités essentiellement positives et
ALGEBRE ÉLÉMEMTÀIIIE. SpS
ne peut s'annuler. Son minimum a toujours pour expressions ,— — j mais devient posilif-
La parabole représenta 11 ve, située tout entière au-dessus de l'axe j:Oj/, ne rencontre pas cet axe (fig, 33), et le point où elle s'en rapproche davantage répond au minimum de j .
Nous avons supposé le coefficient a positif; s'il était négatify il faudrait simplement changer le signe de toutes les valeurs précédentes de la fonction dont le minimum deviendrait un maximum.
Toutes les paraboles représentatives seraient renversées [Jig, 34) et s'étendraient dans le sens 0;', comme l'indique la figure, au lieu de s'étendre dans le sens Oy,
Étude des yariations du quotient de deux trinômes du second
degré.
316. Soit à étudier les variations du quotient de deux tri' nômes du second degré^ lorsque la variable x parcourt toute V échelle des grandeurs réelles de — oo ri -f- oo •
La fonction donnée est ici
ax^-^ bx -*- c
11 faut chercher d'abord si cette fonction est ou non réductible à une forme plus simple. En effet :
1** Les deux trinômes égalés à zéro peuvent avoir les mêmes racines.
Dans cette hypothèse (247),
abc b b' c c'
— = 77==-/ ou -==— el - = -;• a b c a a' a a
Par suite^ on peut écrire
a hr* -*- - a: -f- - I \ a a] a
a' Lr*-f- -7^ -♦--7 1 La fonction se réduit donc alors à la quantité constante -7*
De c— Cours. 1. 38
594 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
a° Les deux trinômes égalés à zéro peuvent avoir une seule racine commune.
Cette racine commune a pour expression réelle (246)
ca' — ac' ah' — ba' '
désignons-la par x^ et représentons par x^ ei par x^ les racines non communes des deux trinômes. On peut alors
écrire
Les deux termes du quotient^ s'abaissent donc au premier degré, et il est facile, comme nous le verrons, de suivre la marche de la fonction.
Remarquons seulement que, si Ton exprime réciproquement X en fonction de j, les deux termes delà valeur trouvée pour X sont aussi du premier degré en y^ de sorte que la fonction / peut prendre toutes les valeurs réelles possibles sans que la variable x cesse elle-même d'être réelle. Par conséquent, la fonction^ n'est soumise à aucune limite, et elle ne peut avoir ni maximum ni minimum.
316. Passons maintenant au cas général, c'est-à-dire supposons que les deux trinômes égalés à zéro ne présentent aU" cune racine commune.
Dans cette hypothèse, la fonction y est irréductible, et Ton doit se proposer, avant toute discussion, de déterminer ses limites ou de chercher le maximum ou le minimum dont cette fonction peut être susceptible.
Pour y arriver, on emploie la méthode générale exposée
au n"" 284. De
aa7*-f- hx -^ c
on déduit, en chassant le dénominateur et en ordonnant par rapport à x^
[a — tf'/jar'-t- [b — b'y)x -^ (c — c'x)z=o. Si l'on résout cette équation par rapport à x, il vient
X = ^(^-" *>) ±slW^^yf-^ ^[a^ a' r)[c -^ (/x) ^
^la — a'xl
ÂLGÈBUE ÉLÉMENTAIRE. 5()5
OU, en développant sous le radical.
Posons, pour simplifier, é'»-4fl'c'=A, — 2(66'— aac'— 2Cfl')=B, 6'— 4«c = C;
nous aurons finalement
et, pour que la variable x reste réelle, il faut que le trinôme A/* 4- Bj -f- C ait une valeur positive.
Avant d'aller plus loin, nous remarquerons que, si la fonction y est irréductible, les racines de ce trinôme égalé à zéro ne peuvent pas être réelles et égales. En effet, pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'on ait
B»-4AC = c
ou, d'après les notations précédentes,
(4ac'-+-4ca'— 266')«=:4(6"— 4aV)(6»— 4«(î).
Or, en développant et en simplifiant cette relation, on arrive à l'égalité
(ac^— ca'Y= [aV — ba')[bc' — cb'),
qui exprime précisément (246) l'existence d'une racine commune aux deux trinômes.
Cela posé, examinons successivement les diiférenis cas qui peuvent se présenter, en les distinguant d'après la nature du coefficient A de /* dans le trinôme Aj*-*- By H- C.
SI l'on égale à zéro le trinôme A/» -+• B j + C, ses racines jr^ e\y\ d'après ce qu'on vient de voir, ne peuvent être que réelles et inégales ou imaginaires.
Lorsqu'elles sont imaginaires, le trinôme considéré est, pour toute valeur réelle de y, de même signe que A (252). La fonction y n'a donc aucune limite et peut prendre toutes les valeurs de — oo à + oo .
Lorsque les racines y' et /" sont réelles et inégales, le tri-
lifi ALCLBUE ÉLÉME>TA1RE.
iiôme considéré n'est positif que pour les valeurs de x QuI sont extérieures aux racines (^52;. On doit donc avoir, en désignant par y la plus grande des deux racines,
x>y ou r<y.
La plus grande racine jr' représente, par conséquent, le minimum de la fonction jr^ el la plus petite racine )^ représente son maximum.
Il faut noter à ce sujet qu'il y a discontinuité de la fonction entre j^ etj', ce qui explique comment son minimum se trouve plus grand que son maximum. Le minimum est relatij à la série de valeurs qui va de ^ à +» ; ie maximum, à la série de valeurs qui va de — oo à j^.
Lorsque les racines y el y" sont, dans celte hypothèse, réelles et inégales, le Irinôme Aj^-t- Bj -4- C n'est positif que pour les valeurs de y qui le rendent de signe contraire à A, c'est-à-dire pour les valeurs de ;^ qui sont intérieures aux racines (252). On doit donc avoir
X<C/ el x>y'^^
La plus grande racine y représente, par conséquent, le maximum de la fonction j^, el la plus petite racine y représente son minimum. Celle fois, le maximum surpasse le minimum; il y a, en effet, coniinuilé de la fonction entre y
Dans l'hypothèse de A<;o, les racines du irinôme
A^ ^ -h Bj -h C
ne peuvent pas être imaginaires; car, s'il en élail ainsi, le trinôme serait de même signe que A pour toute valeur réelle de y, c'est-à-dire négatif. La variable x serait donc imaginaire pour toute valeur réelle de j. Or, c'est ce qui esl impossible. En effet, si Ton substitue à x^ dans l'expression
ax^-^- bx -h c
'^ '~ a'x^-\- b'ic -Jfc'^
une valeur réelle quelconque, il en résulte pour jr une valeur réelle; el celte dernière valeur, substiluée à y dans l'expression (i) de Xy doit réciproquement conduire pour
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHE. 5()7
cette variable à la valeur réelle qu*on lut a attribuée d'abord. On peut donc affirmer que, lorsqu'on a A<o, les racines du trinôme en y placé sous le radical de la valeur de x ne peuvent jamais être que réelles et inégales.
On peut d'ailleurs prouver directement que les conditions  < o et B' — 4AC < o sont incompatibles»
Si on les suppose remplies, il faut d'abord que C soit de même signe que A, c'est-à-dire négatif.
On a ensuite, d'après ce qui précède,
B = 4flr'-h 4ffl'— '^bb' ou ^aci = 4fl*/iV-f- ^aca'^ — 'koba'b^
en même temps que
A=^'*-4«'c' et C = A'— 4«f,
d'où l'on déduit
4flV=^>'=-A et 4ûr = ^»— C.
On peut donc écrire
d'où
„ [ab'-'bf^Y'-'kn'^Q.a'^
na Il en résulte
aUi"
{[ab'-bny-^iny/^^-^a'/^^y] \{nb'-bay-\-{ay/- k-a' \/ --C)"]
La quantité B' — 4 AC ne peut donc être négative, puisque le numérateur de cette expression équivaut au produit de deux sommes de carrés de quantités réelles, et que son dénominateur est un carré parfait.
Le trinôme A/» + Bjr -+- C se réduit à l'expression du
premier degré B/ + C. Pour que cette quantité soit positive,
il faut qu'on ait
r>-g ou r<-B'
suivant que le coefiîcient B est positif ou négatif (215, III).
598 ALGÈBUE ÉLÉHENTAmE.
Dans la première hypothèse, — ^ est un minimum de la
fonction ^; dans la seconde hypothèse, cette même quantité est le maximum de la fonction.
Si la fonction /est irréductible, on ne peut avoir en même temps A = o et B = o, puisque la condition B' — 4AC = o serait alors satisfaite.
