En résumé, pour étudier les variations de la fonction

ax* -{- bx-^ c

on doit toujours commencer par déterminer les racines des deux trinômes du second membre, égalés à zéro, afin de supprimer les racines communes qu'ils peuvent admettre.

S'ils n'en présentent aucune, on forme l'expression (i) du n*" 316, et l'on considère le trinôme Ay* -h Bjr + C placé sous le radical de la valeur de x.

Si A est [> o, ce trinôme égalé à zéro ne peut avoir que des racines imaginaires ou bien réelles et inégales.

Dans la première hypothèse, la fonction 7* n'a aucune limite. Dans la seconde hypothèse, elle a pour minimum la plus grande racine y' du trinôme et, pour maximum, sa plus petite racine j^; c'est-à-dire que la fonction y peut varier de — 00 à z*' et de /' à 4- 00 , sans prendre aucune valeur entre

r" etjr'.

Si A est •< o, le trinôme égalé à zéro ne peut avoir que des racines réelles et inégales, et la fonction /peut seulement varier de la plus petite racine/'^, qui est son minimum, à la plus grande racine y', qui est son maximum.

Si A =10, la fonction y n'admet qu'un maximum ou qu'un minimum qu'on trouve immédiatement en résolvant l'inégalité B/ -h C>o.

D'ailleurs, dans tous les cas où la fonction y passe par un maximum ou un minimum, le radical de la valeur de ^ s'annule , et la valeur correspondante de x est donnée par la formule

' 7. [a — ay)

OÙ Ton substitue à ;^ le maximum ou le minimum de la fonction.

Une fois ces premières déterminations efifeciuées, on peut suivre d'une manière complète la marche de la fonction. C'est ce que nous allons expliquer sur des exemples choisis parmi les cas les plus importants.

Applications.