I. Étudier les variations (le la fonction

2jr'-H 6jr-|- 4

Cherchons les racines des deux trinômes égalés à zéro. Les racines du premier sont — i et. — 2 ; les racines du second sont toutes deux égales à — I . On peut donc écrire

La fonction j n'admet donc ni maximum ni minimum (31 S). Étudions directement ses variations, et, pour le faire plus simplement, effectuons la division de .r 4- 2 par x + i . Le quotient et le reste de cette division étant tous deux égaux à i, on a

ar -h I

Les variations de/ ne dépendent ainsi que de celles de la fraction corn-

plémentaire — '- — • ' a: -f- I

Pour X = — 00 , cette fraction complémentaire est nulle (119), et l'on a

Si X augmente en restant négatif, c'est-à-dire en tendant vers zéro (214, 218), la fraction complémentaire augmente en valeur absolue, tout en restant négative. Par suite, la fonction/ diminue, en demeurant d'abord

positive. Elle devient nulle pour la valeur de x qui rend la fraction

égale à — 2, c'est-à-dire pour x = — a. Au delà, etdej:= — 2àx = — i, la fraction considérée continuant d^augmenter en valeur absolue en étant toujours négative, la fonction y continue de décroître en devenant négative.

Pour jr = — I, la fraction devient égale à — » , comme limite

de quantités négatives indéfiniment croissantes en valeur absolue. On a

donc aussi r= — «; mais, pour une valeur négative de j: Irès-pcu supérieure à — i, la fraction complémentaire devient positive et aussi grande qu'on veut. On doit donc regarder la fonction y comme égale à zp 00 pour la valeur spéciale jc = — i. Par conséquent, pour celle valeur de la variable, la fonction est discontinue (310) et saute brusquement de la valeur — « à la valeur -h oo , sans passer par les valeurs intermédiaires. En d'autres termes, cette discontinuité, qui répond à une seule valeur de x^ porte sur tciute Téchelle des grandeurs réelles.

X continuant de croître au delà de — - 1 , la fraction ^ devenue

JT-f- I

positive, va constamment en diminuant, ainsi que r, qui reste d'ailleurs positif. Pour x = o, on a j^ = 4 ; pour j: = -f- oo , on retrouve la valeur

Toute cette discussion est résumée dans le tableau suivant :

croît

décroît

o décroît

décroît

Si Ton veut représenter ce tableau par une courbe, comme nous Tavons expliqué (312), on remarque d'abord que, pour a? = — oo et pour a: = -h 00 , on a J =: 2; par suite, si Ton prend sur Taxe Oy (fig. 35), à réchelle adoptée, une longueur OB = 2 et si Ton mène par le point B ane parallèle HH' à l'axe xx!^ il existe sur cette parallèle deux points de Ja courbe, tous deux situés à une distance infinie, l'un à droite, Tautre Jà gauche.

De môme, pour ^ = — i,ona^ = q=oo; par suite, si Ton prend sur Ox' une longueur OA représentant — i d'après nos conventions (312)» et si l'on mène par le point À la parallèle KK' à l'axe xr'i il existe aussi

aloèbue élémentaire.

deux poinls de la courbe sur cette parallèle, tous deux situés à une distance infinie, Tun au-dessus de Taxe xj/, Tautre au-dessous.

D'ailleurs, dex = — ce à x= — i,jva constamment en décroissant depuis 2 jusqu'à — oo , en traversant zéro pour x — — a. Si Ton mesure OC = — 2 sur Taxe Ox', on obtient donc une première branche de courbe telle que H'CK'.

De X = — I à X = -h 00 , r va constamment en décroissant depuis -H oo jusqu'à 2, en devenant égal à 4 pour x= o. Si Ton mesure OD = 4 sur l'axe Oj', on obtient une seconde branche de courbe telle que KDH.

La discorAinttitc est marquée sur la figure par le passage brusque du

Fîff. 35.

Il'

point R', qu'on doit supposer à l'infini négatif sur la droite KR', au point R, qu'on doit supposer à l'infini positif sur la même droite.

I>es parallèles HH' et RR' aux deux axes xx' et xjr\ que les valeurs infinies de la variable et de la fonction nous ont conduit à considérer, et riant les deux branches de la courbe représentative ( qui est une hyper" bnle du second degré) s'approchent indéfiniment sans jamais les atteindre, sont dites les asymptotes de cette courbe.

Dans les applications suivantes, et pour plus de rapidité, nous désignerons immédiatement sous ce nom les droites analogues