II. Etudier les variations de la fonction
Les racines du premier trinôme, égalé à zéro, sont 5 et 3 ; colles du second sont 2 et — i. On peut donc écrire
(x— 3)fj:--5) ~ (x ~k- i) (.r — 2)
()02 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
La fonction étant irréductible, cherchons si elle admet un Diaximum et un minimum (31G). En chassant le dénominateur de Texpression (i) et en ordonnant l'équation par rapport à x, on a
(i — j)x*— ( 8 — j-)x -r- l5 -K 2/ = O. Il en résulte
ou, en eflectuant et en simpliGant sous le radical,
8 — T-dev/^v'-H 36r-+-4
Nous avons donc ici  > o (310). Si l'on pose
97'-*- yôjr -4-4 = 0, on en déduit
— 18 =b v/324 — 50 — 18 ± y^iSS y — =
l^s deux racines du trinôme en 7, placé sous le radical de la valeur de x et égalé à zéro, sont donc
7'= — o,ii5 et 7' = — 3,883,
à 0,001 près.
La plus petite racine 7' représente (316) le nuiximum des valeurs croissantes de la fonction depuis — » jusqu'à 7', et la plus grande racine y' représente le minimum des valeurs croissantes de la fonction depuis y* jusqu'à + co . La fonction n'admet aucune valeur réelle entre r' et 7'.
La valeur de x qui correspond au maximum 7' est (317)
à 0,01 près.
La valeur de x qui correspond au minimum y' est
à 0,01 près.
Ces premiers résultats vont nous permettre d'étudier rapidement la marche de la fonction quand x varie de — oo à -h co .
4LGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. 6o3
L'expression (a) montre que j^, qui s*annule pour x=S et j?= 5, passe par Tinfini pour x = — - i et pour x = ^, La fonction est donc nécessairement discontinue, et cette remarque va assurer notre discussion.
Pour j;=— -oo,ona^=i (119). Si x croît en tendant vers zéro, les quatre facteurs de l'expression (2) restent négatifs tant que x n'a pas atteint et dépassé la valeur — i . Donc^ reste positif dans le même intervalle. D'ailleurs, pour a: = — i,ona/=-+-oo. On peut donc affirmer que, X variant de — 00 à — i, / croît de i à h- 00 .
En effet, si j diminuait à partir de i, il faudrait qu'il augmentât ensuite pour atteindre la valeur -t- oo . Il passerait donc par un minimum pour une certaine valeur de x comprise entre — » et — i . Or la fonction n'a qu* un seul minimum correspondant à x = jr' = 3 ,63.
X dépassant la valeur — 1, / devient négatif, puisque, des quatre facteurs qui composent l'expression (a), trois demeurent négatifs, tandis que le quatrième facteur x -4- 1 devient positif. De plus, 7 est aussi grand qu'on veut en valeur absolue pour une valeur de x inférieure ou supérieure à — I, mais Irès-peu différente de — i. Par suite, pour x = — i, on a en réalité / = ±: 00 , et la fonction, rendue discontinue, saute brusquement de la première valeur à la seconde, en franchissant toute l'échelle des grandeurs réelles.
Si l'on fait croître or de — i à h- a, ^ reste négatif, et l'on passe par la valeur x = j:'= i ,ai, qui répond au maximum x''= — 3 ,883 de la fonction. Pour x = 0, on a j' = — 7,5, et, pour x = a, on a / = — 00 . La fonction part donc de — « pour x=— i, croît jusqu'au maximum — 3,883 pour x = i^ai, puis décroît ensuite indéfiniment jusqu'à — oo pour j: = a.
Au delà de X = a, ^ devient positif, puisque, des quatre facteurs de l'expression (2), deux deviennent positifs. Commet est aussi grand qu'on veut en valeur absolue pour une valeur de x inférieure ou supérieure à a, mais très-peu différente de a, on a en réalité^ = q= oo pour x= 2» La fonction, rendue encore discontinue, saute brusquement de — 00 à -f- oo .
A partir de x = 2, ^ décroît pour atteindre son minimum — 0,1 1 5, qui répond k x = a/ = 3,63. La fonction, positive de x = 2 à x = 3, devient négative ûe x = 3 k x = 5, puisque alors trois des facteurs de l'expression (a) deviennent positifs, tandis que le dernier facteur demeure négatif. Ainsi, la fonction décroît à partir de -^ 00 pour x = 2, s'annule pour X = 3, devient minimum pour 07= 3,63, croît ensuite et s'annule encore pour or = 5.
Au delà de J7= 5, les quatre facteurs de l'expression (2) étant positifs, la fonction elle-même est positive. Dex=5àjr=-hoo,où elle atteint de nouveau la valeur i (119), il faut qu'elle croisse constamment depuis zéro jusqu'à i, puisque la fonction n'a qxCun seul maximum et un seul minimum, qu'on a dépassés.
Toute cette discussion est résumée dans le tableau suivant :
ALGEBRE ELEMENTAIRE.
1 croît
croît
> croît
croît
i,ai
— 3,883 [Maximum] '
croit
décroît 1
croît
décroît
croît
décroît j
— o,n5 [Minimum]
croit
croît
croît
croit
-f-oo
Si Ton veut maintenant construire la courl)e représentative des variations de la fonction (yf^. 36), on commence par indiquer \ asymptote HH' (318), parallèle à Taxe xx* et qui répond à la longueur OB = i, mesurée sur l'axe Or; puis, les deux asymptotes KK' et LL' parallèles à Taxe ^el qui répondent sur l'axe xx' à OA = — i et à OC = a. On construit ensuite les deux points M et m^ dont les abscisses OD et OE sont égales à 1,21 et à 3,63, et dont les ordonnées — DM et — Bm représentent ie maximum — 3,883 et le minimum — o, ii5 de la fonction, et le point N dont l'ordonnée ON est égale à — 7, 5.
Cela fait, on n'a plus qu'à tracer une première branche de courbe H'K, rencontrant, à TinGni vers la gauche et à TinHui au-dessus de l'axe xx\ les deux asymptotes IIH' et KK'; puis une seconde branche K'ML', qui rencontre à TinQni, au-dessous de l'axe xx\ les deux asymptotes KK' et LL'; et, enfin, une troisième branche LmH, qui rencontre à rinfinî au-dessus de l'axe xx* et à l'infini vers la droite les deux asymptotes LL' et HH'. Cette branche de courbe coupe l'axe xa! aux deux points I et J dont les abscisses sont 3 et 5.
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.
Coj
On peut remarquer que la dernière branche L/n H coupe nécessairement son asymptote HH'. Pour obtenir le point correspondant, il suffît de se rappeler que Tordonnée de ce point est égale à i . Ou a alors, d'après l'expression (i) de la fonction,
c'est-à-dire
x^ — 8a: -4- i5 = jr' — X — a,
'jx =17 ou or = îa,43.
En prenant l'abscisse OG = a,43, on détermine sur l'asymptote lill' le
Fîg. 36.
