T 0 PC 1\1 E
Tl
y II*
point d'intersection F de cette asymptote avec la branche L/nH. 320. III. Étudier les variations de la fonction
Si l'on égale à zéro les deux trinômes, on voit que les racines du dénominateur sont imaginaires. Ce dénominateur ne s'annulera donc pour aucune valeur de x et restera constamment positif; par conséquent, la fonction demeure continue, lorsque x varie de — 00 à -f- 00 .
Toutes les fois t/u' une pareille discussion se présente, il faut s'assurer aillai d'avance de la continuité ou de la discontinuité de la fonction.
6o6 ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.
Les racines du numérateur de l'expression (i) égalé à zéro sont
— et —y c'est-à-dire i,6i8 et — o,6i8 a o.ooi près. On
peut donc écrire approximativement
La fonction étant irréductible, cherchons si elle admet un maximum et un minimum, en revenant à l'expression ( i ). On en déduit
c'est-à-dire
x^ »-'-.r±v^(i-f-.r)'-h4(> — .>)lî -f-jy
ou, en effectuant et en simplifiant sous le radical,
i-Hr±i/ — cir'-Har-T-ô x= ^ î^ —
Nous avons donc ici A < o (316). Si l'on pose
~ Zy^ H- 2/ ^- 5 = o ou 3^ — 2/ — 5 = o,
il en résulte
Les deux racines correspondantes sont donc
/=! et y = -i.
La fonction j' n'admet alors (316) que les valeurs réelles comprises entre y et y. La plus petite racine y représente son minimum, la plus grande racine/' représente son maximum, La valeur de jî, qui correspond au maximum y, est (317)
La valeur de .r, qui correspond au minimum y, est
Cela posé, pour x = — <» , l'expression (i) donne (449) /= i.
Si l'on fait croître x, depuis — oo jusqu'à — a, la fonction n'ayant
qu'un seul maximum et un seul minimum répondant aux valeurs de x
que nous venons de calculer, il faut nécessairement que j aille constam-
ment en croissant pour atteindre son maximum - •
X croissant de — a à — o,6i8, ^ toujours positif diminue nécessairement après avoir traversé sa valeur maximum et s'annule pour x = — 0,6 1 8, comme le montre Texpression (i).
X croissant de — 0,618 à 1,618, y devient négatif puisque les deux facteurs du numérateur de Texpression (i) sont alors de signes contraires. D'ailleurs, pour j? = o, j atteint son minimum — i. Ainsi jr, dans T intervalle considéré, diminue de zéro à — i, pour croître ensuite de — i à zéro.
Au delà de j: = 1 ,618, j redevient et reste positif.
Pour x=-i- 00 , on retrouve j= i , de sorte que, dex = ï,6i8àx=-+-oo, la fonction croît constamment depuis zéro jusqu'à i. Il n'en peut être autrement, puisqu'elle n'admet qu'un seul maximum et un seul minimum.
Le tableau suivant résume cette discussion.
- [Maximum]
croît
décroît
croît
décroît
— I [Minimum]
croît
croît
croît
croît
Si Ton veut maintenant construire la courbe représentative des variations de la fonction {fig.. 87), on indique d'abord l'asymptote HH' parallèle à l'axe xx\ qui répond à OB = i. On marque ensuite les deux
points M et /ti, dont les abscisses sont égales à OA = — 2 et à zéro, et
dont le8 ordonnées AM et — O/7? représentent le maximum - et le mini-
()o8 ÀLGÈBRi: ÉLÉMENT AIRE.
mura — 1 de la fonction. On marque aussi les points I et J de Taxe xx\ dont les abscisses sont — 0,618 et 1,618.
On n*a plus alors qu'à tracer une courbe continue partant du point H' à rinfmi vers la gauche, s'élcvant au-dessus de Tasymptote Hh' jusqu'au point M, descendant jusqu'au point 1 où elle coupe l'axe xx\ puis jusqu'au point m où elle rencontre en même temps l'axe yf^ remontant jusqu'au point J où elle traverse de nouveau l'axe xx\ et s'étendant enfin indélinimcnt vers la droite en restant au-dessous de l'asymptote HH\ mais en s'élevant lentement vers elle pour l'atteindre seulement à l'infini
La courbe, en passant du point M au point I, coupe nécessairement son asymptote en un point dont lordonnée est égale à 1. On a donc alors, d'après l'expression ( i ),
x' — j; — 1 — x' -4- j: -h I , c'est-à-dire
