INTÉRÊTS COMPOSÉS ET ANNUITES

Questions relatives aux intérêts composés.

376. Généralement, les intérêts d'un capital prêté constituent une rente constante, payable régulièrement à des époques déterminées, par exemple tous les ans. L'intérêt produit est alors un intérêt simple [Aritlim., 416). Mais on peut aussi laisser les intérêts annuels s'ajouter au capital du, pour porter à leur tour intérêt. On dit, dans ce cas, qu'on capitalise les intérêls ou qu'on prête à intérêts composés,

377. On appelle taux, dans les questions d'intérêts composés, rintérêl rapporté par i franc placé pendant un an dans les mêmes conditions. Le taux de l'intérêt composé, qu'on désigne ordinairement par r, est donc le centième du taux de l'intérêt simple. Si le capital est prêté à 5 pour loo, on a

378. Cherchons \2l formule générale relative aux questions d'intérêts composés, c'est-à-dire cherchons le capital A produit par un capital donné C, placé à intérêts composés pendant un nombre exact d'années représenté par n.

Le capital i franc, placé a intérêts composés, vaut, à la fin de la première année, i + r. Le capital C vaut donc, à la fin de la même année, C(i H- r). Il y a en effet proportionnalité entre les capitaux et les intérêts simples, et, par suite, entre les capitaux et ces mêmes capitaux augmentés de leurs inté- I èis.

Tour savoir ce que devient un capital au bout d'une année; il suffit donc de le multiplier par \q facteur constant i-|-r.

De c. — Cours. \. ^1

658 ALGÈBRE ÉLÉ \f ENTA IRC.

Le capital C(i -+- r) devient, par suite, au bout de la seconde année, C(i -f- r) (i -+- r) rr: C(i -h r}*.

De même, au bout d'une troisième année, le capital C(i + r ' devient C(i 4- r)' (i h- r] r=C;i -f- r)»

En général, au bout de /i années, le capital C, placé à intérêis composés, devient C(i ■+- /)", et Ton a la formule fondamentale

Si Ton prend les logarithmes des deux membres, il vient

logA =logC -h /ilog(i + r).

Cette formule logarithmique renferme les quatre quantités A, C, n et r; elle permet donc de trouver Tune quelconque dr CCS quatre quantités quand on connaît les trois autres, ce qui correspond à quatre problèmes particuliers.

379. La formule (i) suppose n entier. Si n esi fractionnaire, on peut opérer de deux manières. Nous exposerons d*abord ]e premier procédé, qui est le plus logique et qui conduit pratiquement aux calculs les plus simples.

Ce procédé consiste à adopter une nouvelle convention, qui permette d'étendre la formule générale du numéro précédent à tous les cas.

L'année étant partagée en un certain nombre de périodes égales, k par exemple, supposons que la capitalisation des intérêts s'effectue par k''"'" d'année. On peut admettre alors que le taux x, qui correspond à cette nouvelle capitalisation, soit lié de telle façon avec le taux r, que les résultats obtenus au bout d'une année entière soient les mêmes, c'est-à-dire que la valeur de i franc devienne encore i -+- r.

Or si, au bout de t d'année, le capital i franc devient i -f-x,

il est (i -I- ^)'au bout de^-? (i -\- a:)* au bout deT»-- •? (i -f-:r/

/r au bout de t-ou d'une année. On doit donc avoir (80)

(i -h :r)*=H- r ou (i-Hjr) = (i 4- /•)*.

Ainsi, au bout d'une fraction d'année représentée par r'

ALGÈBRE éléhentâihf. 6!}g

le capital i franc, placé à intérêts composés, produit un capital

(i-h^)''i=(i -hr)*,

et le capital C, placé dans les mêmes conditions, un capital

Jl en résulte immédiatement que, si le capital C est placé pendant un nombre fractionnaire d*années représenté par

«'== n -+- Lj en extrayant les entiers contenus dans w', ce capital, placé d*abord à intérêts composés pendant n années,

devient (378)

C(i -Hr)";

et ce dernier capital, placé à intérêts composés pendant la

fraction d'année ^ » devient à son tour

C(n- r)-(i -I- r)^r-zC(n- r)""^^.

On a donc finalement, pour le capital produit A» (i his) A = C(H-r)«',

formule identique à la formule (i), mais où n' est fractionnaire.

380. I^ second pmcédé consiste à admettre que, si le temps considéré [n'—n-^j\ est fractionnai re, on doit regarder le capital C comme placé à intérêts composés pendant les n premières années, puis le capital produit à intérêts simples pendant la fraction complémentaire j •

Pour obtenir A, il faut donc chercher ce que devient le capital C ( n- r )", augmenté de ses intérêts simples pendant j d'année; mais, si Tintérêt simple de i franc placé pendant un an est r, on peut admettre que cet intérêt simple est j r pour la fraction j* Au bout du même temps, i franc

devient donc i -+- f /*» et l'on a, par conséquent,

(^) A==C(i-Hr)-(i-H^r),

formule beaucoup moins propre au calcul que la formule (j fus).

6i\o ALGEBRE ËLÉMENTAIIIK.

Applications de la formule générale.

381. La formule (i) ou (i bis) conduil à la formule logarithmique

log A -- logC -h n log(i -h r),

n clam entier ou fractionnaire.

Si C est l'inconnue, on en déduit

logC — logA — n log(i -f- /•;.

Si l'inconnue est le temps n ou le taux r, on en déduit do même

lo^A — lopjC , / , logA — logC

nz= "- ou log iH- r = - 2 __o .

logtn-/'j ®^ ' n

Il ne se présente donc aucune difficulté particulière. Nous allons indiquer quelques questions qui dépendent des relations précédentes.

382. 1. Pendant combien d'années faut-il placer un capital à intérêts composés, pour qu'il acquière une valeur pfois plus grande?

On a, dans celte hypothèse, A = pC, de sorte que la valeur de n devient

log(i-f-r)

Si l'on suppose, par exemple, /i = a et r = o,o5, on trouve n = 14,207, ce qui revient à i4 ans 76 jours.

Ainsi, il faut seulement un peu plus de i4 ans pour qu'un capital se trouve doublé p^r l'accumulation des intérêts composés.

383. II. On place deux sommes C et C à intérêts composés y la première au taux r, la seconde au taux r* : on de mande au bout de combien de temps le capital produit par ces deux sommes est le même.

Soit X le temps cherché. Pour qu'il ail une valeur posilive, il faut que la plus petite somme corresponde au taux le plus élevé. On a, par exemple, C<;G' et r^r^. L'équation du

problème est évidemment

d*oii9 en prenant les logarithmes des deux membres, logC-}-a:log(i -+- r) = logC'-f- xlog{i 4- r'),

c'est-à-dire

logC— logC

log(i -h r) — log^i -hr*)

On obtiendrait pour Tinconnue x une valeur néfçative^ si Ton avait, par exemple, C<C' en même temps que r<^r'. Pour interpréter cette valeur négative, remarquons que la formule

générale

donne, pour n^= — q^

h z= Cil -^ r)-^ =z ou C = A(i-+-r)î.

A représente donc alors le capital qui, placé dans le passé pendant q années, aurait produit le capital actuel G.

Une valeur négative de a;, telle que — ^, signifie donc, pour le problème proposé, que les deux sommes qu'il faudrait supposer placées pendant q années dans le passé pour produire les valeurs actuelles G et G' sont égales.

384. III. La population d'un État est aujourd'hui de N habitants; elle s*accrott tous les ans de -r de sa valeur an com-

nn^ncement de Vannée considérée : on demande quel chijfre elle atteindra au bout de n années,

A la Tin de la première année, la population dont il s'agit est devenue

N -f- T ou

«hi)

La question est donc identique au problème général des intérêts composés: le facteur constant (i-t-r) est remplacé

par le facteur constant ( i -4- r )• On a donc immédiatement,

en désignant par:r la valeur de la population au bout de n

6Gq ALGEBRE ÉLÉMENTAIRP:.

années.

D'après cela, si Ton considère deux populations N el N' doni

les accroissements relatifs soient mesurés par les fractions 7

(M 7-,» et si Ton demande dans combien d'années elles seroiu rgales, on doit avoir, en représentant ce nombre d*années

par/,

''■h't}'='<i-<-ir

En prenant les logarithmes des deux membres, il vient

logN-+-.rlogfn-H =logN'-+-jlog(n-~j,

d'où

logN^-logN

IOg(.-i)-IOg^. + i;)

Pour que la formule conduise à une valeur positive pour j\ il faut qu'on ait, par exemple, N'>N en même temps que

r^-n' Une valeur négative de l'inconnue s'interprétera d'ailleurs de la même manière que précédemment (383).

Applications de la seconde formnle.

385, La formule (2) du n° 380 devient, lorsqu'on prend les logarithmes des deux membres,

logA = logC -h/îlog(i-+- r) -♦- logf I-+- j/i*

Lorsque Tinconnue est A ou C, la formule mise sous cette forme conduit sans peine au résultat. Le calcul est moins simple et donne lieu à quelques remarques nécessaires lorsque l'inconnue est le temps ou le imtx.

386. Supjx)sons que ^inconnue sr/tt le temps n\ et rappelons-nous que n est la partie entière du temps fractionnaire n' = n-hj*

On déduit de la formule précédente

log(, + fr)

loffA — îo^G

log(i-i-/-) log(i-h/-j

lo&rA 10*^0

Si Ton désigne par E la partie entière du quotient -f—, ^v- et par R

le reste de cette division, on peut écrire

log(.+ fr)

l0g(H-/-) )Og(l -!-/•)

Comme Ç est une fraction, le troisième terme du second membre est,

aussi bien que le deuxième terme, moindre que l'unité. 11 en résulte que la partie entière de // est égale à E, c/est-à-dire, puisque n est entier, qu'on a

/? = E et, par suite, Il = log ( i -+- ^ r\ •

La dernière relation donne, par son logarithme, le nombre i-h j/", qui,

étant connu , détermine la fraction j •

Si R =-- o, il en est de môme de cette fraction; n = /?, et c'est la formule (i) du n** 378 qui convient.