Supposons que l'inconnue soie le toux r
On cnnploio la méthode par approximations successives, que nous allons expliquer sur cet exemple.
La formule logarithmique du n"" 385 donne
log(. + f,)
I \ 1 / X lo^A — lojîC
a) logH-r = "
r est généralement compris entre o,o3 et o,o6, et 4- est une fraction.
La quantité ( * -^- t ^) est donc voisine de l'unité, et le terme négatif du
second membre de l'équation (a) est, par suite, beaucoup moindre en général que le terme positif qui le i>récède. Si l'on néglige alors ce terme négatif, on trouve pour /• une valeur /•,, approchée par excès, et répondant à réqualion
logA — logC
log(i-hr,) =
Si l'on substitue cette première valeur approchée r, dans la formule (a), on oblienl une nouvelle valeur r„ approchée par défaut, et répondant à
6()4 ALGÈBRE ÉLÉMEKTAIRK.
réquation
lo-(i-+-r,)
On a ainsi deux valeurs de r, approchées en sens contraires, et Ton peut
écrire
mais, la moyenne arithmétique -* ^ étant comprise entre les mômcs
limites que r, l'erreur commise en remplaçant r par Tune d'elles est moindre que
- ' — ? — '*, = ^ ou que r, ' — -î ? ,
suivant que r tombe entre la première limite et la moyenne des limites ou entre cette moyenne et la seconde limite. L'expression maximum de Terreur commise resie donc la môme dans les deux cas.
En général, l'approximation atteinte à l'aide de ce premier calcul eï?t suffisante. Si elle ne l'est pas, on se servira de r, comme on s'est servi de r,, et l'on aura, en désignant par r, et r^ deux nouvelles valeurs approchées de r, l'une par excès, l'autre par défout,
, . . logA-logC '^^V'""? 7
log
log(n-/-4) = --
de sorte qu'on prendra pour valeur de r la demi-somme -^ * j avec
r — T une approximation marquée par la demi-différence ~ *•
On voit immédiatement que l'on a r^<.r^ et r^y-r^-, par conséquent, si l'on continue le calcul, on obtient deux séries de nombres
lii première indéfmiment décroissante, la seconde indéfiniment croissante, ot dont la limite commune est r.
Généralisation des fonnnles précédentes.
388. Nous avons exprimé jusqu'à présent le temps en prenant pour unité l'année, de sorte que les périodes considérées ont été des années ou des fractions d'année.
ALGÈBRE ÉLÉMErîTAIRE. 665
II est clair que, si l'on change l^unité de temps, les mômes formules subsistent, à la condition de rapporter les mêmes lettres non plus aux années, mais aux nouvelles périodes adoptées.
Supposons, par exemple, qu'on capitalise par semestres au lieu de capi> taliser par années; on a les mêmes formules (378, 379, 380)
A = C(n-r)« ou A = C(n-/-)"(i4-^'/'))
dans lesquelles 72 représente un nombre entier (ou fractionnaire) de semestres, j la fraction complémentaire de semestre, r l'intérêt rapporté
par I franc en 6 mois.
D'après cela, si l'on veut comparer le capital A produit par une somme C placée à intérêts composés pendant n années au capital A' produit par cette même somme, placée à intérêts composés pendant %n semestres, on a, en appliquant la première formule,
A = C(i-+-r)'' et A'=C^i4--^
2ji
Nous admettons que l'intérêt semestriel de i franc est la moitié de son intérêt annuel.
La valeur de A' pouvant s'écrire
A'^c[(.-.;yj=c(.^,-.jy,
il vient
Le capital Â' est donc supérieur au capital A.
Questions relatives aux annuités.
389. Première question. — Formation d'un capital par annuités.
On place tous les ans, pendant n années, une somme n à intérêts composés, et il s'agit de calculer le capital total produit par ces placements successifs.
II y a deux cas à distinguer : la première somme a ou la première annuité peut être placée au commencement ou à la fin (Je la première année.
