Deuxième cas

Ce second cas est celui qui se présente ordînaîremenl dans la pratique.

Les annuités étant alors placées successivement à la fin de chacune des années considérées, la première annuité reste placée à intérêts composés pendant (n— i) années, la deuxième pendant (/i— 2) années, la troisième pendant (/i — 3) années, . • . ; la dernière, placée ou donnée à la fin de la /i'*"" année, ne porte aucun intérêt. On a donc ici, pour le capital formé A, et en employant les mômes transformations,

A = «(i -f- r)"-* -f-«(f -+- r)"-» -f- rt(i + r)"-^ -h . . . -h a =^a[{i -t- r)"-^ 4- (i -hr)"-'-f- (i -4- r)'-»4- .. . -f- 1],

c'est-à-dire

On rend, comme précédemment, cette formule calculable par logarithmes en posant

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. CGj

d'où

\0'^h = n1og(i -f- r)

el, par suite,

392. La formule (i), renfermant quatre quantités A, /?, /i, /, donne lieu à quatre problèmes.

Si l'inconnue est A, on se sert directement de la formule

comme on vient de l'indiquer. Si l'inconnue est a, on en

déduit

, ,• \ Ar Ar

(i bis] a= , : = ----,

relation qui fait connaître la valeur de Vannuiié a qu'on doit placer à intérêts composés à la fin de chaque année, pendant n années, pour former un capital A.

393. Si n est l'inconnue^ on écrit la formule ( i ) (391 ) de la manière suivante :

(i -h ri"= I -^ ;

d'où» en prenant les logarithmes des deuK membres,

log(

Ar'

log(i -hr)

Si Ton trouve pour n une valeur entière, le problème est résolu. Si Ton trouve pour n une valeur fractionnaire, comprise entre les entiers /? et /? -h i, on a

log(,+ ir)

c'esl-à-dire, en chassant le dénominateur iog(i -h r) et en remontant aux nombres,

Ar

( I -h rV < iH < (i -H r>-»-»,

et, par suite,

668 At-GÈBUE ÉLCMESTAIBB.

11 faut donc placer un nombre d'annuités supérieur à p pour que le capital A soit formé, et ce nombre d'annuités est en même temps inférieur à (/>-+- 1 ). On voit par là dans quelles conditions il faut modifier les données, si l'on veut n'avoir à considérer qu'un nombre entier d'années. On peut aussi faire une convention spéciale pour produire, par intérêts simples, par exemple, la différence qui existe entre A et le capital correspondant aux p premières annuités a.

39i. Si r est l'inconnuey on a à résoudre une équation dn n''"" degré. Pour éviter cette difficulté, on écrit la formule (i) (391] de la manière suivante :

Il est clair que le capital A, formé à l'aide d'une annuité donnée et le taux r, varient dans le même sens. Par conséquent, si l'on substitue dans le second membre de la relation précédente une valeur quelconque à la place de r, cette valeur sera approchée par excès ou par défaut, suivant qu'elle rendra ce second membre supérieur ou inférieur au quotient

— • On pourra donc parvenir, par des essais successifs, à trou-

ver deux nombres comprenant entre eux le taux inconnu r, et tels que leur demi-différence ne dépasse pas l'approximalion demandée. En se reportant au n^ 387, on prendra alors leur demi-somme pour valeur de r.

395. Deuxième question. — Remboursement d'une dette par annuités.

Si Ton veut exécuter un travail utile qui exige un capital considérable, on emprunte ce capital pour un temps donné, et l'on convient de le rembourser au bout de ce temps en tpnant compte des intérêts composés. On peut alors, au lieu de liquider intégralement la dette à l'époque indiquée, s'acquitter d'avance en payant, à la fin de chaque année, une même somme ou annuité. Les profits du travail exécuté doivent permettre de servir l'annuité convenue, et la nécessite de la servir impose Tordre et l'économie. 11 faut d'ailleurs que cette annuité soit calculée de telle sorte, que les deux manières d'opérer le remboursement soient identiques.

ALGEBRE ÉLÉMENTAIUE. 66q

Cherchons la formule générale qui donne la valeur a de l'annuité nécessaire pour éteindre dans ces conditions une dette C, consentie pour n années, au taux r.

On peut parvenir à cette formule de deux manières.

Première méthode. — La dette exigible au bout des n années a pour expression (378)

mais, en payant tous les ans, à la fin de chacune des n années, Tannuiié a, on forme un capital ayant pour valeur (391)

a\(i -h rY—ï'] r

On doit donc avoir identiquement

Cr(i -h r)"

(iH- r)"— I

Deuxième méthode. — On peut regarder l'annuité a comme composée de deux parties. Tune représentant les intérêts simples annuels du capital prêté C, l'autre représentant la fraction de l'annuité appliquée à l'extinction de la dette ou à V amortissement de ce capital.

La première partie est Cr.

La seconde partie peut être considérée comme une annuité spéciale, qui, placée pendant n années, reconstituerait le capital C; elle est donc égale à

Cr

I -f- r)«— I d'après la formule (i bis) du n° 392. On a donc fînalemcnt

tn>\ a .— {,r -4- ■ = — , '—')

comme ci-dessus.