Pour 71 = oD , on a
(n-r)"=Qo (336) ou ^ = 00.
Il en résulte donc (119)
Ainsi, dans l'hypothèse où l'annuité se réduit à l'inlérèi simple du capital prêté, comme il ne reste plus rien pour amortir la dette, cet intérêt simple doit être payé indéfiniment. C'est le cas des rentes perpétuelles^ constituées en général par les emprunts (TÉtat. L'Etat s'engage, en effet, à servir perpétuellement Tintérèl simple ou la rente du capital qu'on lui a prêté, sans s'astreindre à rembourser ce capital à aucune époque.
3î)7. La formule (2) (395), renfermant quatre quantités <i, C, /ï, r, donne encore lieu à quatre problèmes.
Si l'inconnue est a, on se sert directement de la formule, comme on vient de l'indiquer.
Si V inconnue est C, on en déduit
relation qui fait connaître la valeur du capital C qu'on peut emprunter à intérêts composés pendant n années, d'après l'annuité a dont on peut disposer et le taux r.
398. Si n est l'inconnue, on écrit la formule (2) (395) de la manière suivante :
; I -h r]"ia — Cr) = a ou (1 -h r)''= ^.■^•
^ ^ ^ ^ ^ a — Lr
11 vient alors, en prenant les logarithmes des deux membres^
logrt — log(« — Cr) log(i-f-rJ
ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. (ijl
Si l'on trouve pour n une valeur eniière, le problème est réfiOlu. Si Ton trouve pour n une valeur fractionnaire, comprise entre les deux entiers /> et (/>-+- 1), ce résultat signifie que, pour que la dette soit amortie, il faut plus de p années et moins de (/?-+- 1) années. C'est ce dont on s'assure facilement en suivant la même marche qu'au n° 393. On peut donc s'engager à payer /> annuités «, puis faire une convention spéciale pour acquitter le complément de la dette égal (391) à
I^ valeur précédente de n devient infinie pour a:=zCr (350). On retrouve ainsi le cas des rentes perpétuelles (396).
399. Si r est l'inconnue, il faut, pour éviter la résolution d'une équation du (/n-i)'*'"' degré, opérer encore par approximations successives (387, 394.).
On met l'équation (2) (395) sous la forme
a r{\ -+- rY
Il est clair que, si le taux augmente ou diminue, il en est do même de l'annuité nécessaire pour amortir une dette déterminée; par conséquent, si l'on substitue dans le second membre de la relation précédente une valeur quelconque à la place de r, cette valeur sera approchée par excès ou par d^fauty suivant qu'elle rendra ce second membre supérieur
ou inférieur au quotient t-,- On peut donc parvenir, par des
substitutions successives, comme on l'a indiqué précédemment (394), à une valeur de r suffisamment approchée. Puisqu'on doit toujours avoir a>Cr (395), on a aussi
r^Ts* On peut donc adopter le quotient j^ comme limite
supérieure des valeurs à essayer pour r.
(Î73 ALGÈBRE ÉLÉMENTÀIIXC.
Généralisation des formnles précédentes.
400. On peut convenir, dans certains cas, de payer tous les six moi?
la somme - au lieu de payer (ous les ans l'annuité a^ et de capitaliser
alors les intérêts par semestres. En désignant par r' Tinlérôt semestriel de I franc, le capital produit de cette manière, après un nombre de semestres égal à //', a évidemment pour expression (391)
A--- ; au heu de A = /i —
Si Ton veut comparer les deux résultats, il faut supposer n' = in et
r' - -j de sorte qu'on a •2 ^
résultat plus grand que A (350).
401. On peut vouloir amortir une dette en se plaçant dans les conditions qu'on vient d'indiquer. On a alors, en adoptant les mêmes notations ot en représentant par a' la somme à payer tous les six mois (395),
d'où
« = 7 — -—,\n'-^ 8LU heu de a = -, — ^ v, '
Pour comparer les deux formules, il faut supposer encore nf = 2n et
/•'=-• Il vient
Cr
(juantité moindre que
r? I Cr
' " in- rf
comme cela doit être (400).
ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE. 6^3
Amortissement.
402. Les questions & amortissement rentrent dans les questions d'annuités.
L'État, comme nous l'avons déjà dit (396), fonde ses emprunts sur le système des re?/?/^A- perpétuel/es; mais il conserve la faculté de /«r^^/^r ces mêmes rentes qu'il vient d'aliéner à tout jamais.
Pour arriver à l'extinction ou, au moins, à la diminution progressive de la Dette publique, on constitue une caisse particulière, appelée Caisse ((^amortissement, La somme affectée chaque année au service de la Caisse forme ce qu'on appelle sa dotation. Cette Caisse a commencé à fonctionner à l'aide d'une somme de 4o millions, produite par la vente d'une partie des forêts de l'État.
La dotation annuelle de la Caisse est, le plus souvent, le centième du capital nominal de la dette.
Les fonds ainsi réservés à l'amortissement servent à racheler chaque année des rentes qui viennent, par leurs intérêts composés, augmenter les ressources de la Caisse. Quand l'État est parvenu ainsi à racheter ou à supprimer toutes les rentes qu'il a à payer par suite de ses emprunts successifs, la dette publique se trouve éteinte ou amortie.
Rien de plus sage, rien de plus nécessaire au crédit d'une nation, à sa véritable puissance, qu'un bon système d'amortissement sévèrement poursuivi.
403. Le taux d'amortissement est le rapport du capital qui y est affecté au capital emprunté ou, en d'autres termes, le fonds d'amortissement pour I franc.
On peut demander, connaissant le taux d'amortissement, combien d'années exigera lextinction de la dette.
11 faut remarquer avec soin que l'État, continuant toujours de servir les intérêts de cette dette, ne doit en réalité que le capital primitivement emprunté. Si Ton désigne ce capital par Â, si a est la dotation annuelle de la caisse, r l'intérêt annuel de i franc et n le nombre d'années cherché, on a donc (391)
i) k=a— : doù (i-h r)''= i-h -/•.
Si l'on représente alors le taux d'amortissement -r par / et si Ton prend les logarithmes, on obtient la formule générale
Iog(i-H^]
De g. — Cours. !• 4^
^74 ALGEBRE ÉLÉMEftfTÀIKE.
On voit que n ne dépend pas de A, mais seulement de r et de U
Admettons, par exemple, qu'on ait r = o,o45, ce qui répond au taux de 4,5 pour loo» et r = o,oi. 11 vient
Pt, par suite,
log5,5 0,7403627
" == n 7T ~ ?ô = Jo,72,
logi,o45 0,0191163 ^^
Ainsi, dans ces conditions, une dette quelconque, si lourde qa*on veuille hi supposer, sera complètement éteinte en 89 ans.
On peut facilement calculer dans combien de temps la dette sera réduite au quart, au tiers, à la moitié,. . . de sa valeur primitive. Il suflQt de
remplacer, dans la formule (i), A par y j -^î :,...•
Crédit foncier.
404. La société de Crédit fonder a été fondée en France pour venir en aide aux propriétaires fonciers et leur permettre d'améliorer leurs terres ou leurs immeubles, sans être obligés d'avoir recours à des emprunts onéreux et dangereux.
A cet effet, elle prèle sur première hypothèque, pour un laps de temps qui peut s'étendre de vingt à cinquante ans, et le remboursement s'opère par voie d'amortissement.
Le créancier s'acquitte donc par payements semestriels, qui doivent comprendre :
i" L'intérêt à 4'S^^ pour 100 par an du capital emprunté; 2° La somme nécessaire à l'amortissement de ce capital, en supposant les intérêts capitalisés tous les six mois; 3** Des frais d'administration, évalués à o^'',6o par 100 francs.
En faisant l'addition de ces trois parties , relativement à un prêt de 100 francs, on convient de compléter les centimes.
La somme annuelle nécessaire à l'amortissement est alors donnée par la formule (400)
Ar
où 2/7 représente le nombre des semestres. Pour r = 0,0425, A = 100, n = 5o, on a
ALGEBUE ÉLÉMEMTAinE. 6^5
En additionnant ce résultat avec les deux autres nombres i^^S et 0,60, on trouve 5, 441 ai 4, c'est-à-dire 5''',45.
Telle est l'annuité à payer pour un prêt de 100 francs, remboursable en 5o ans, soit par semestre 2'', 725.
Pour un prêt de looooo francs, dans les mêmes conditions, on doit donc verser par semestre mille fois plus ou 2726 francs.
Le Crédit foncier présente encore d'autres combinaisons, qu'on peut étudier dans les ouvrages spéciaux, consacrés aux questions financières; nous avons voulu seulement indiquer le principe.
