FORMULE DU BINOME

Définitions.

405. Le développemenl d'une puissance quelconque, entière et positive, d'un binôme (x-ha) est l'une des formules les plus importantes et les plus usuelles de l'Analyse. Sa démonstration est fondée sur la théorie des combinaisons que nous commencerons par établir, et qui intervient d'ailleurs dans un grand nombre de questions.

406. Considérons m objets quelconques. Si l'on groupe entre eux, de toutes les manières possibles, n quelconques de ces m objets, en ne tenant compte que de l'ordre des objets, on forme ce qu'on appelle les arrangements de ces m objets pris n à n. Deux arrangements doivent différer au moins par l'ordre des objets qui les composent.

Si, parmi les arrangements obtenus, on ne conserve que ceux qui diffèrent au moins par un objet, ces arrangements particuliers forment ce qu'on appelle les combinaisons des m objets pris n à n.

(*) Nous reTiendrons arec plus de détails sur cette formule dans la Section consacrée à TAlgèbre supérieure {voir t. III). Mais il nous a paru indispensable de Pexposer dès à présent, en nous plaçant surtout au point de tuc si bien indiqué par ces paroles de Poiksot [Réflexions sur la théorie des nombres] : « 11 y a une Algèbre supérieure qui repose tout entière sur la théorie de Tordre et des combinaisons, qui s'occupe de la nature et de la composition des formules considérées en elles-mêmes, comme de purs symboles, et sans aucune idée de valeur ou de quantité. . . ; c'est même cette seule partie élerée de h Science, qui mérite, k proprement parler, le nom à* Algèbre. » Cette xàee d'ordre et de combinaison est à la fois trop délicate et trop essentielle pour qu'on ne doive pas chercher à familiariser le lecteur avec elle aussitôt que possible.

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE. Syy

On donne quelquefois aux combinaisons le nom de produits différents.

Arrangements.

407. Cherchons la formule qui fait connaître le nombre des arrangements de m objets pris n à n. Nous indiquerons ce nombre par la notation A^, l'indice marquant le nombre total des objets considérés, et l'exposant le nombre de ceux qui doivent entrer dans chaque arrangement.

Pour fixer les idées, supposons que les objets qu'on veut grouper soient représentés par les lettres de Talphabet a, b^

Si Ton a m lettres et qu'on veuille les arranger une à une^ le nombre des arrangements est évidemment égal à m. On a donc

Pour former les arrangements deux à deux^ on écrit successivement, après chaque lettre a, 6, c, . . . , les (m — i) autres lettres. On a ainsi

aby bay ca, . . , la y

aCy bCy Cby . . , Iby

ad, bdy cdy . . . , ICf

al, bly Cly. . .y IfC,

Aucun arrangement 2 à 2 n'a été omis, aucun n'a été répété. Aucun arrangement n'a été omis, car Tordre suivi épuise toutes les dispositions possibles, soit relativement aux lettres employées, soit relativement aux places qu'elles occupent. Aucun arrangement n'a été répété, car les arrangements qui sont dans une même colonne verticale diffèrent par la lettre qui les termine, et ceux qui ne sont pas dans une même colonne diffèrent par la lettre qui les commence. On a formé m colonnes, puisqu'il ya mlettres; chacune contieni(m — i) arrangements. En désignant par A^ le nombre des arrangements 2 a 2, on a

donc

A^n = m[in — i).

Pour avoir les arrangements trois à troisy on écrit de même successivement, après chaque arrangement 232, les (m — 2)

6^8 ALGÈBRE éLÉMENTÂIRE.

lettres qui n'entrent pas dans l'arrangement considéré. On a ainsi

abCf acbf adby . . , dab, . . . , lab, ...»

abdf acdy ode, . . , dac^ . . , laCy . . ,

abCf ace, ade, . . . , dae, . . , lad, . . . ,

ablf aclj adly . . . , daL . . . , lak, ....

Aucun arrangement 3 à 3 n'a été omis, l'ordre suivi épuisant toutes les dispositions possibles; aucun n'a été répété, puisque les arrangements d'une même colonne verticale diffèrent par la lettre qui les termine, tandis que ceux qui n'appartiennent pas à la même colonne diffèrent au moins par l'ordre des deux premières lettres. On a formé m[m — i ) colonnes, puisqu'il y a m[m — i) arrangements 2 à 2; chacune contient [m — 2) arrangements. En désignant par A^ le nombre des arrangements 3 à 3, on a donc

La loi est évidente; mais nous allons démontrer directement la formule générale sans avoir recours à l'induction. Soit AJT* le nombre des arrangements [n — i) à (n — i ). Pour avoir les arrangements n à /i, il faut écrire successivement, après chaque arrangement (n — ï) à (n— i), les m — (/i— 1) ou les (m — ■ n -h i) lettres qui n'y entrent pas. Tous Jes arrangements n à n sont ainsi obtenus, car on peut former un arrangement nk n quelconque, en plaçant la /i*'*"* lettre considérée à la .suite de l'arrangement formé par les [n — i) autres lettres. Tous les arrangements obtenus sont distincts; car ils diffèrent par la dernière lettre s'ils correspondent à un même arrangement (/t — I ) à (n — i]y et, si la lettre qui les termine est la même, ils diffèrent au moins par l'ordre de leurs [n — ï) premières lettres, puisqu'ils proviennent de deux arrangements (/i— i) à [n— 1) différents. Chaque arrangement [n—i] à [n — 1) donnant lieu à (m — n-hi) arrangements /t à n, on a la formule générale

Supposons successivement dans celte formule n= a, a = 3,

ALGÈBRE ÉLÉMENTAIHB. 679

n = 4,---> n = /i, il vieni

A^ = ArM'^-»+ 0-

Si l'on multiplie toutes ces égalités membre à membre et si Ton remarque que le premier membre de chaque égalité est égal au premier facteur du second membre de l'égalité suivante, on a, en opérant les réductions et en remplaçant A^ par sa valeur m,

Am = m{m — t){m — 2)(m — 3)...(/n — n-hi).

Cette formule, qui donne le nombre des arrangements n à n de m objets quelconques^ est composée de n facteurs ; le premier facteur est m, les autres facteurs diminuent successivement d'une unité jusqu'au n'*™* qui est (m — /i 4- 1 ).

Permutations.

408. Si Ton fait /i= m dans la formule précédente, on a le nombre des arrangements de m objets pris m a m. Ces arrangements, où entrent tous les objets donnés, ont reçu le nom de permutations. Si Ton désigne leur nombre par P» et si Ton renverse Tordre des facteurs du second membre, on a évidemment

Les facteurs du second membre forment la suite naturelle des nombres entiers, depuis i jusqu'à m.

Combinaisons.

409. Supposons qu'on ait formé les combinaisons /i à n de m objets, c'est-à-dire les arrangements n à /i de ces m objets, qui diffèrent au moins par l'un des objets qui y entrent (406), En prenant toutes ces combinaisons, dont nous désignerons le nombre par C^, et en effectuant les permutations des n objets qui composent chacune d'elles, on obtient tous les arran* gemenis nixn des m objets donnés.

Ô80 ALGEBRE ÉLÉMENTAIRE.

En effet, chaque permutation donne un arrangement nh n. Aucun arrangement n'est omis, car chaque combinaison correspond à un certain arrangement, en laissant de côté Tordre des objets qui y entrent; et, en effectuant toutes les permu tations de ces objets, on doit trouver l'arrangement particulier qu'on a en vue. Aucun arrangement n'est répété; car ceux qui proviennent d'une même combinaison diffèrent par l'ordre des objets, et ceux qui ne proviennent pas d'une même combinaison diffèrent au moins par l'un des objets qui les composent.

Chaque combinaison contenant n lettres donne lieu à un nombre P„ de permutations, qui est égal (4-08) à i.2.3...n. On a d'ailleurs, d'après ce qu'on vient d'établir,

A« — r" ^^ P On en déduit (407)

Cette formule générale renferme n facteurs entiers au numérateur et n au dénominateur. Les premiers vont en décroissant depuis m jusqu'à {m — n 4- 1), les seconds vont en croissant depuis I jusqu'à n.

Le nombre des combinaisons possibles étant nécessairement entier, la formule démontre ce théorème :

Le produit de n nombres entiers consécutifs quelconques est toujours divisible par le produit des n premiers nombres entiers,

410. On peut donner à la formule des combinaisons une autre expression qui est souvent plus commode. Complétons les facteurs du numérateur jusqu'à i, en multipliant les deux termes de la fraction du second membre par i . a . 3 . . . ( m — n). Il vient, en renversant Tordre au numérateur,

rn —

i.2.3.4>*-/iX 1.2.3.4 t''' — '^l

Le numérateur contient alors m facteurs qui sont les nombres entiers de i à m; le dénominateur en contient aussi m qui sont les nombres entiers de i à n et de i à (m — n). Cette nouvelle forme démontre le théorème suivant:

▲LGÈBnE ÉLÉMENTAIRE. 68 1

Le produit des m premiers nombres entiers est toujours di^ visible par le produit des n premiers nombres entiers multiplié par celui des (m — n) premiers nombres entiers, quel que soit 71, pourvu qu'il soit moindre que m.

411. Le nombre des combinaisons de m objets pris n à n est égal au nombre des combinaisons de m objets pris [m — n) à (m — n).

En effet, quand on a formé une combinaison n à /z, les {m — n) objets restants forment une combinaison (m — n) à (m — n). Les deux nombres de combinaisons sont donc identiques.

La formule, sous la dernière forme indiquée (410) le prouve aussi immédiatement; car si Ton y change n en (m^n), on a

Il n'y a pas d'autre changement, si Ton compare l'expression de C^"^ à celle de CJ,, que le renversement des deux produits 1 .2.3. . . n ei 1 .2.3. . . (m — n) au dénominateur.

Ainsi, le nombre des combinaisons de 12 objets pris 5 à 5 est égal au nombre des combinaisons de 12 objets pris 737, parce que 5-4-7 = 12.

D'une manière générale, les deux exposants n et (m — n) sont complémentaires par rapport à l'indice commun m.

412. On peut demander, parmi les combinaisons nànde m objets f combien il y en a qui contiennent p objets déterminés. En ôlanl ces p objets, il en reste (m — p). Si Ton forme los combinaisons (n — /?) à (/» — p) de ces (m — p) objets, et si l'on range à la droite de chacune d'elles les p objets laissés de côté, on a évidemment toutes les combinaisons ni^ n qui contiennent ces p objets. Le nombre demandé est donc C^liJ,.

Si l'on demande, au contraire, parmi les combinaisons n à n de m objets, combien il y en a qui ne contiennent aucun objet choisi parmi p objets déterminés, on voit qu'en mettant à part ces p objets, il en reste ( m — p). Le nombre de combinaisons demandé est donc celui de (m — p) objets pris /i à «

ou C^-;,.

Enfin, si Von veut savoir, parmi les combinaisons n an de m objets, combien il y en a qui contiennent au moins un objet

68a ALGÈBRE ÉLÉMENTAIRE.

choisi parmi p objets déterminés, on commence par (ormer le nombre C^-p des combinaisons qui ne contiennent aucun des p objets désignés, et on le retranche du nombre C^ des combinaisons considérées.

413. l^e nombre des combinaisons de m objets pris n an est égal à la somme des nombres de combinaisons de [m — i) olh jets pris n à n et [n — i ) à [n — i ).

Cesl ce qui résulte immédiatement des deux premiers alinéas du numéro précédent, lorsqu'on y suppose p= i; car on peut partager les combinaisons de m objets pris nk n en deux groupes : l'un composé des combinaisons qui renferment un certain objet désigné, Tauire composé de celles qui ne contiennent pas cet objet. On a ainsi la formule remarquable

Cn p«— I i^ fit m — ^m— 1 "T- ^/rt— !•

Probabmté.

414. La probabilité d'im événement est le rapport du nombre des cas faporables ou des cas désignés au nombre des cas possibles, lorsqu'ils sont tous également possibles.

Si une urne renferme 20 boules, 12 blanches et 8 noires, la probabilité,

12 3 pour la sortie d'une boule blanche, est représentée par — ou - et, pour

la sortie d'une boule noire, par — ou 7? c'est-à-dire que, sur 5 boules

successives, il est probable que l'on en retirera 3 blanches et 2 noires.

La roue de la Loterie pouvait amener 90 numéros, sur lesquels il en

sortait 5 au hasard. Prendre un extrait, c'était désigner un numéro qui

devait se trouver parmi les 5 sortants pour qu'on eût gagné. Le nombre

des cas possibles était é^al au nombre des combinaisons de 90 objets pris

5 à 5, c'est-à-dire (409) à

Le nombre des cas favorables était celui des combinaisons de 90 objets pris 5 à 5, qui contiennent un objet déterminé (412), c'est-à-dire celui des combinaisons de 89 objets pris 4 à 4 ou

La probabilité de gagner l'extrait était donc égale au quotient des deux

ALGEBRE ÉLÉMEKTAIRE. 683

expressions précédentes ou à — = ~ô ' ^^^ i8 cas possibles, il y en avait

donc I favorable à la personne qui prenait l'extrait, et 17 à la loterie. On pariait i contre 17. Lorsqu'on gagnait l'extrait, la loterie payait i5 fois la mise.

Lorsqu'on désignait deux, trois, quatre, cinq numéros, on prenait un ambe, un terne, un quaterne ou un quine. En raisonnant, comme pour l'extrait, on trouve :

Pour la probabilité favorable à la sortie d'un ambe donné, - — : la loterie payait 270 fois la mise ;

Pour la probabilité favorable à la sortie d'un terne donné, — - : la loterie payait 55oo fois la mise;

Pour la probabilité favorable à la sortie d'un quaterne donné, -r ;— :

la loterie ne payait que 76000 fois la mise;

Pour la probabilité favorable à la sortie d'un quine donné, — — — — :

la loterie avait supprimé le quine.

Nous reviendrons plus tard [Jt^èhre supérieure) sur la théorie des probabilités ou des chances,

Formnle du binôme.

S.15. Nous avons vu (29) que le produit de n polynômes s'obtient en formant tous les produits n à n des termes des polynômes proposés, c'est-à-dire que, dans chaque terme du produit, il doit entrer comme facteurs un terme du premier polynôme, un terme du deuxième, un terme du troisième,..., un terme du n""".

Appliquons celte règle à la formation du produit des m

binômes

(a: -h «) (a: -+- 6) ( j: -h c) . . . ( JT -h /) ,

et supposons qu'on ordonne le produit par rapport aux puissances décroissantes de x.

£n prenant les m premiers termes des m binômes, on a évidemment ^c".

En prenant, dans (m — i) binômes, leur premier terme x, et dans le m'*"* binôme son second terme a, by c,. , , ou /, on obtient des termes de la forme aar*~'; et la somme de tous ces termes est

(a-f-6-f-c-f-. ..-f- l)x^'-\ Tel est le terme en x^"* du développement. Si Ton représente

par Si la somme de tous les seconds lermes des binômes» le terme en x^"^ prend la forme Stor"^'.

En prenant, dans (m — 2) binômes, leur premier terme x, et dans les deux binômes restants leurs seconds termes a et 6, a ei Cy a et rf,..., ou k et /, on obtient des termes de la forme

abx^-^y et la somme de tous ces termes est

[ab -¥-ac -f-arf-f-.. .-4- kl)x^^.

Tel est le terme en af"~^ du développement. Si Ton représente par S> la somme des produits 2 à 2 des seconds termes des binômes, le terme en jp"-' prend la forme Sjo:'"-'.

On voit de même que le terme en a:*"* est de la forme Sjjc"-», S3 représentant la somme des produits 3 à 3 des seconds termes des binômes.

D*une manière générale, si Ton prend dans (m — n) binômes leur premier terme x, et dans les n binômes restants leur second terme, on obtient des termes en af^'*; et la somme de tous ces termes ou le terme en a?"^''du développement a pour expression S«:c*~", en représentant par S„ la somme des produits n k n des seconds termes des binômes.

On obtient enûn le terme de degré o par rapport à x^ en prenant les m seconds termes des m binômes. Ce terme, le dernier du développement, est abcd... kl, et nous le représenterons par Sm, produit des m seconds termes des binômes. Le développement cherché peut donc s'écrire

x^ -h S, a:"-' -4- Saor'"-^ -H S, jt*-» -h . . .