Supposons maintenant, dans l'égalité

= x^-h Siar"-» -h SiX"-^-h S, J?—» 4- . . . -f- S^^c— « 4- . . . -f- S«-, X -h S„,

tous les seconds termes des binômes égaux à a. Le premier membre devient (x -h a)"*. Il faut chercher ce que deviennent dans le second membre les quantités S», Sj, S3, ..., $«,.,«, S«. Si est la somme des seconds termes des binômes; ces seconds termes devenant tous égaux à a, on a, puisque le nombre des binômes est m,

Si= ma.

ALaÈBKE ÉLÉMENTAIRE. 685

Sx est la somme des produits 232 des seconds termes des

m binômes ou la somme des combinaisons 2a 2 formées avec

ces seconds termes. Tous ces seconds termes étant égaux à a,

toutes les combinaisons deviennent égales k a*; St est donc

égale à a^ multiplié par le nombre des combinaisons de

i. » ^ . ml m — i) r^ . m objets pris 232, qui est — ^ • On a donc

w^. * « ^1 , /wfm — i)(m — 2) .

De même, S3 est égale a — ^ — x a*,

D*une manière générale. S, est la somme des produits nh n des seconds termes des m binômes ou la somme des combinaisons nkn de ces seconds termes. Tous ces seconds termes étant égaux à a, toutes les combinaisons deviennent égales à a"; Su est donc égaie àa" multiplié par le nombre des combinaisons

. u- - . ^ • m(m— i)(m— 2)...(m — w-hi) de m objets pris n a /i, qui est — ^^ — 3 ~ —

On a donc

m (m — i)fw — '?.). ..(m — /i-hi)

Enfin, Sm, représentant le produit des m seconds termes des binômes, devient égale à a*", et Ton peut écrire

(a: -f- a "= x^H a:tr"~*H ^^ -a^

m (m — i]{ni — 2). ..(m — /i-h i)

On voit que ce développement contient m -h i termes. Les termes extrêmes sont :c* et a". Dans les termes intermédiaires, l'exposant de x va en diminuant et l'exposant de a en croissant d'une unité, en passant d'un terme au suivant, de sorte que, dans chaque terme, la somme des exposants des deux lettres est toujours égale à m.

Quant aux coefficients, les termes extrêmes ont pour coefficients l'unité, et les termes intermédiaires les différents nombres de combinaisons qu'on peut former en prenant m objets i à i, 2 à 2, 3 à 3, . . ., n à n, . . . . (m — 1) à (m — ij.

686 ALGÈBBE ÉLÉMENTAIRE.

On peut dire aussi que le coerficient du dernier terme est )e nombre des combinaisons de m objets pris mkm, puisque ce nombre est évidemment égal à l'unité.

La formule du binôme s'écrit donc encore commodement comme il suit, en employant la notation habituelle des nombres de combinaisons de m objets pris i à i, a à 2, 3à3,...,/na m i

417. Dans le développement du binôme, les coefficients des termes situés à égale distance des extrêmes sont égaux.

En effet, le coefficient du terme qui en a n avant lui est Cm» Le terme qui en a n après lui en a (m — n) avant lui, puisque le nombre total des termes du développement est égal à (m -t-i) ; son coefficient est donc C^"". Or, nous avons démontré (411) ridentité

Cn pm—n m — ^m •

Si l'exposant m est impair, le nombre (m + 1) des termes du développement est pair: les coefficients de ces termes se reproduisent alors deux à deux à égale distance des extrêmes, et il suffit de calculer la moitié de ces coefficients.

Si l'exposant m est pair, le nombre (m -h i) des termes du développement est impair: les coefficients de ces termes se reproduisent alors deux à deux, à égale dislance des extrêmes et du terme du milieu qui n'a pas de correspondant; il faut alors calculer la moitié plus un de ces coefficients.

418. Les termes du développement se déduisent successivement les uns des autres, d'après une loi très-simple.

Le terme général étant celui qui en a n avant lui, écrivons ce terme et celui qui le précède» en les désignant par T^ et T»^. On a