On peut préciser davantage les remarques faites au

n* 417, en s'appuyant sur la loi démontrée au n° 418.

D après cette loi, en multipliant le coefficient du terme

général par la fraction

688 ALGEBRE ÉLÉMEMTAIIIE.

on forme le coefficieni du terme suivant. Les coefGcients du développement vont donc en augmentant, tant que celle fraction est supérieure à l'unité. Or, de Tinégalîté

on déduit

Nous devons distinguer deux cas.

1° m est impair.

Si m est impair, [m — i) est pair, n peut recevoir la valeur

— • LMnégalité posée se changeant ainsi en égalité, la

fraction devient elle-même égale à i, et le lerme qui

suit le terme général reproduit le coefficient de ce terme.

Le rang du terme général, qui est (n-f-i), est exprimé, dans cette hypothèse, par

hi=

On esi donc alors parvenu au milieu du développement : le terme qu'on vient de considérer en termine la première moitié, le terme suivant en commence la seconde* L'exposant de a, dans le terme qui Gnit ainsi la première

moitié du développement, est n= •, l'exposant de x

dans le même terme est m — n= •

Dans le cas où m est impair, on reconnaît donc qu'on est arrivé au milieu du développement, à ce fait que, dans le dernier terme formé, les exposants de a et de x diffèrent d'une unité,

2° m est pair.

Si m est pair, (m — i) est impair, n ne peut recevoir la va-

, m — I leur •

Si Ton a /i = 1, l'inégaliié (i) est encore satisfaite, et

le coefficient du terme qui suit celui qu'on considère continue d'augmenter; mais, pour /i=: — , l'inégalité (i) change

de sens, la fraction devient elle-même moindre que i,

et les coefficients du développement commencent à diminuer.

Le coefficient maximum répond, par suite, à /i = — • Le rang du terme général est exprimé, dans cette hypothèse, par

On est donc alors parvenu au milieu du développement, et le terme qu'on vient de considérer n'a pas de correspondant.

L'exposant de a dans le terme du milieu étant /i = — >

c elui de x dans le même terme est m — n = — •

Dans le cas où m est pair, on reconnaît donc qu'on est arrivé au milieu du développement, à ce fait que, dans le dernier terme formé, les exposants de a et de x sont égaux.

422. Ce qui précède conduit immédiatement à la solution de cette question :

Parmi les nombres de combinaisons qu'on peut former avec m objets en les prenant i à 1,2^2, 3â 3,..., m à m, quel est le plus grand?

On n'a qu'à chercher quel est le plus grand coefficient du développement de la m""' puissance d'un binôme quelconque.

Si m est impair, il y a au milieu du développement deux coefficients égaux plus grands que tous les autres et qui ont pour expressions (4-21)

m Cl \Jm *

Si m est pair, le coefficient maximum du développement

Db C— Cours, 1. 44

690 ÀLGF.BIIE ÉLÉMENT \inE,

est celui du terme du milieu et a pour expression

\Jwtf

Par exemple, on obtient le plus grand nombre de combinaisons qu'on puisse former avec 7 objets, en les prenant 3 à 3 ou 4 à 4* On obtient le plus grand nombre de combinaisons qu'on puisse former avec 10 objets en les prenant 5 à 5.

423. Si Ton fait, dans la seconde expression du développement de [x 4- aY [416], a: = a 1=1, on trouve

2- =3 1 -I- c;, -4- Ci. -h c;„ 4- . . . + c^ -f- . . . -f- es.

La somme des nombres de combinaisons qu'on peut fornitr en prenant m objets \ à i, 1 àn^ 3 à 3,. . ., m à m, a donc pour expression 2* — 1 .

Si, dans l'expression du développement de [x — a >[420], on introduit les mêmes hypothèses, on trouve

0 = 1 — C^ -f- C^ — Cm -f- . . . rt C/n Iip . . . ^ ti„,.

Quand on considère toutes les combinaisons formées en prenant m objets i d i, 7. d 2, 3 d 3, . . . , m â m, te nombre des combinaisons où il entre un nombre impair d'objets surpasse donc d'une unité le nombre des combinaisons où il entre un nombre pair d'objets. Mais nous venons de voir que la somme de ces deux nombres est 2*-— i ; par conséquent, le premier est exprimé par 2'"-"' (c'est un nombre pair) et le second par 2"-"'— I (c'est un nombre impair).