LIVRE DEUXIÈME

PROPRIÉTÉS ÉLÉMENTAIRES DES NOMBRES ENTIERS

21. Pour qu'un nombre soit divisible par 6, il faut et il suffit que la somme du chiffre des unités et du quadruple de tous les autres chiffres soit divisible par 6.

ifâ. Pour qu*un nombre soit divisible par 4* il faut et il suffit que la somme du chiffre des unités et du double du chiffre des dizaines soit divisible par 4-

23. Pour qu'un nombre soit divisible par 8, il faut et il suffit que la somme du chiffre des unités, du double du chiffre des dizaines et du quadruple du chiffre des centaines soit ûivisiDle par 8.

24. Démontrer que, si Terreur commise dans la multiplication de deux nombres provient de ce que le premier chiffre à droite de l'un des produits partiels n'a pas été écrit, comme il convient, sous le deuxième chiffre à droite du produit partiel précédent, la preuve par 9 ne peut pas indiquer l'erreur. Examiner si la preuve par 1 1 peut toujours mettre 1 erreur en évidence.

25. La différence des carrés de deux nombres impairs est toujours di« visible par 8, et la somme des mêmes carrés n'est jamais divisible par 4-

26. La somme des carrés de deux nombres non divisibles par 7 ne peut jamais être divisible par 7.

27. a et b étant deux nombres non divisibles par 3, la différenoe (a*— b^) est divisible par 9.

28. Lorsque deux nombres ont, dans un ordre quelconque, les mêmes chiffres significatifs, leur différence est un multiple de 9.

29. Les puissances successives de deux nombres a etb donnent deux à deux les mêmes restes quand on les divise par la différence (^ — ^). — En conclure que la différence («"•— 6") est toujours divisible par la différence (a — b),

30. Le plus grand commun diviseur de deux nombres ne change pas

SUR l'arithmétique. 699

quand on divise Tun d'eux par un de ses diviseurs, pourvu que ce diviseur soit premier avec l'autre nombre.

31. Démontrer que le plus grand commun diviseur de deux nombres A et B est égal au nombre des multiples de B contenus dans la suite

A X I , Axa, A X 3, . . . , A x B.

32. Démontrer que, pour obtenir le plus grand commun diviseur de trois nombres A, B, C, on peut chercher le plus grand commun diviseur d (le A et de C. puis le plus grand commun diviseur d' de B et de C, puis enfin le plus grand commun diviseur des nombres d et d'.

33. Il y a une infinité de couples de nombres ayant i5, par exemple, comme plus grand commun diviseur, et pour lesquels la recherche de ce plus grand commun diviseur exige huit divisions. — Trouver les deux plus petits nombres qui satisfont à ces conditions. — Généraliser la question.

S-i. n désignant un nombre entier quelconque, démontrer que les trois produits

/t(/l-f- l)(/l-f- 2), /l(/H-l)(ft/H- 1), w(2/?-l-l)(7/H-l)

sont respectivement divisibles par 6.

35. Le produit de cinq nombres consécutifs est toujours divisible par 120.