Démontrer que chacune des deux proportions

A A' Xm-hCn A'm -t- Cn C ~ C ' Ap-Cq'7 Ap-^-Cq

est une conséquence de Tautre (/n, /i, p, q désignent des nombres quelconques).

137. Démontrer que, si les quatre termes d'une proportion sont écrits par ordre de grandeur, la somme des extrêmes est plus grande que la somme des moyens. — En déduire que la moyenne proportionnelle de lieux nombres est moindre que leur moyenne arithmétique.

i38. Démontrer que, dans une suite de rapports égaux, la racine carrée de la somme des carrés des antécédents est à la racine carrée de la somme des carrés des conséquents comme un antécédent est à son conséquent.

139. Démontrer que les quatre sommes obtenues en ajoutant deux proportions terme à terme ne forment une nouvi'lle proportion que dans les deux cns suivants : i' si les rapporis de la première proportion sont égaux à ceux de la seconde; u* si le rapport des antécédents ou des conséquents de la première est égal au rapi)ort des ter.mes correspondants de la seconde proportion.

140. Deux arcs d'une même circonférence comprennent respectivement 38"4i'3',4 et 52* i5' 12", 8 : quel est leur rapport?

I il . Si trois nombres a, b, c, rangés par ordre de grandeur, sont tels

qu'on ait

ils forment une proportion harmonique; le nombre b est alors la moyenne harmonique entre a et c, qui sont les deux extrêmes.

Cela posé, démontrer que, dans toute proportion harmonique, l'inverse de la moyenne harmonique est égale à la demi-somme des inverses des deux extrêmes.

142. Démontrer que, dans la suite indéfinie i, -> r» 75 t- • • ^ ^rois

termes consécutifs quelconques forment une proportion harmonique.

443. Le nombre des vibrations transversales qu'une corde tendue exécute dans l'unité de temps est proportionnel à la racine carrée du poi^s

qui la tend, et inversement proportionnel à sa longueur, à son diamètre, ainsi qu'à la racine carrée de son poids spécifique. Cela posé, une corde de cuivre, ayant o™,363 de longueur, o"',ooi5 de diamètre et tendue par un poids de i3^', 35, exécute 1999 vibrations en une seconde : on demande combien de vibrations exécutera une corde de platine de o'°,45i de longueur, o'°,ooo25 de diamètrO; tendue par un poids de 4"') 49* Le poids spécifique du cuivre est 8,8 et celui du platine 21 ,5.

144. 100 parties de Talliage des caractères d'imprimerie contiennent 80 parties de plomb et 20 parties d'antimoine : on demande combien il entre de plomb et d'antimoine dans i6''',375 de cet alliage.

145. On a 8''^,25o d'argenterie au titre de 0,950 : on demande combien de cuivre il faut ajouter pour obtenir un alliage propre à faire de la monnaie.

146. Une personne a souscrit trois billets, l'un de 600 francs, payable dans 4 mois ; le deuxième de i5oo francs, payable dans 8 mois ; le troisième de 700 francs, payable dans 10 mois. Elle désire remplacer ces trois billets par un billet unique à l'échéance d'un an. Quel en sera le montant, le taux de l'intérêt étant 4)5 pour 100 par an?

147. Un billet payable dans 58 jours a été escompté au taux de 5 pour 100 par an et a produit 1481''', 25. On demande quelle était sa valeur nominale.

148. On appelle unité de chaleur la quantité de chaleur nécessaire pour élever de i degré C. la température de i kilogramme d'eau, et chaleur s/}écijtque d'un corps le nombre d'unités de chaleur nécessaire pour élever de I degré C. la température de i kilogramme de ce corps.

Cela posé, combien faut-il dépenser d'unités de chaleur pour faire passer la température d'un morceau de fer, pesant 37 kilogrammes, de i5 degrés à 85 degrés, sa chaleur spécifique étant, dans cet intervalle, égaleào,i255?

149. L'eau, en se congelant, augmente de — r de son volume; trouver le poids spécifique de la glace par rapport à l'eau.

150. On demande le volume d'air nécessaire pour brûler entièrement 1 kilogramme de carbone, sachant : i*^ que l'air atmosphérique ne renferme en oxygène que les 0,21 de son volume; 2'' que, dans l'acide carbonique produit par la combustion, le rapport du poids do l'oxygène à

celui du carbone est -r, 3° que le poids spécifique de l'oxygène par rapport à l'air est i ,1026.

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