THÉORIE ET USAGE DE LA RÈGLE A CALCUL
Description de la règle.
Dans tout ce qui va suivre, nous supposons que le lecteur a entre les mains une règle à calcul, soit la règle en bois construite par M. Gmpei- Lenoir^ soit la règle à enveloppe de verre de M. Léon Lalanne.
L'instrument se compose d'une partie fixe ou règle proprement dite et d'une partie mobile ou réglette. La règle présente en son milieu une rainure dans laquelle la réglette, qu'on fait mouvoir à l'aide d'un petit bouton métallique, glisse à frottement doux.
La règle présente, sur sa face antérieure, deux échelles principales^ Tune au-dessus, l'autre au-dessoiat de la réglette. L'échelle supérieure esi formée de deux échelles identiques placées à la suite l'une de l'autre; l'échelle inférieure est la reproduction de chacune d'elles, mais elle a une longueur double.
L'une des faces latérales de la règle est divisée en centimètres et en millimètres, depuis zéro jusqu'à 26 centimètres. Cette division se continue dans le fond de la rainure, de a6 à 5a centimètres, ce qu'on aperçoit en enlevant la réglette. La règle peut donc servir à la fois d'instrument de calcul et d'instrument de mesure. Lorsque la longueur à mesurer est comprise entre a6 et 5a centimètres, on fait glisser la réglette vers la droite, de manière que la règle plus la partie de la réglette qui la dépasse représentent la longueur donnée. On lit alors la mesure cherchée au fond de la rainure, au point où commence la réglette.
Sur la partie postérieure de la règle est adaptée une table de nombres usuels, qui renferme tous les éléments de la conversion des mesures anciennes en nouvelles.
La réglette porte deux échelles identiques à l'échelle supérieure de la règle , de sorte qu'il y a coïncidence parfaite entre les divisions supérieures de la règle et celles de la réglette quand on fait correspondre exactement le n" 1 de la réglette avec le n° i de la règle.
Cela posé, les divisions des échelles de la règle et de la réglette sont
NOTES. ij/^g
proportionnelles aux logarithmes des nombres à partir de i. On marque, à chaque division obtenue, non le logarithme ^ mais le nombre correspondant. Ainsi, l'intervalle Compris entre lo log de i ou o et le log de lo ou i étant égal à l'unité, les chiffres
lo
correspondent à des distances de l'origine i égales à loga, logS, log4, log5, loge, log7, logS, logg, log lo
ou o,3oi, o,477, o,6oa, 0,699, 0,778, o,845, 0,908, 0,954, i.
L'échelle supérieure de la règle se compose, comme nous Favons dit, de deux parties identiques qui vont toutes les deux de i à 10. Comme le logarithme de 20 est égal au logarithme de 10 augmenté du logarithme de a, que le logarithme de 3o est égal au logarithme de 10 augmenté du logarithme de 3, etc., il vaudrait mieux numéroter les divisions de la seconde partie : 10, 20, 3o, 40, 5o, 60, 70, 80, 90, 100 (c'est ce qu'a fait M. Léon Lalanne).
Les neuf divisions de chaque moitié de l'échelle supérieure de la règle sont subdivisées chacune en dix parties, de manière que les distances des nouveaux points de division à l'origine i soient proportionnelles aux logarithmes des nombres
Enfm on a subdivisé les subdivisions obtenues elles-mêmes en cinq parties de i à 2, et en deux parties de 2 à 5, de manière que les distances des nouveaux points de division à l'origine i soient proportionnelles aux logarithmes des nombres
75o NOTES.
Les échelles de la réglette sont, nous le répétons, identiques à Téchelle supérieure de la règle.
Les divisions principales sont indiquées par des traits plus longs que les subdivisions du premier ordre j et celles-ci par des traits plus longs que les subdivisions du second ordre.
En résumé, on voit que la règle présente comme une table de logarithmes dont les nombres varient de deux centièmes de i à 2, de cinq centièmes de a à 5, de un dixième de 5 à 10, de deux dixièmes de 10 à 20, de cinq dixièmes de 20 à 5o, et de une unité de 5o à 100.
Comme la partie décimale d'un logarithme ne dépend que de la valeur at)solue des chiffres qui composent le nombre correspondant, on peut dire encore que la table inscrite sur la règle renferme le^ parties décimales des logarithmes des nombres variant successivement ^^une unité entre i et 100, celles des logarithmes des nombres variant de deux unités entre 100 et 200, celles des lo<;arithmes des nombres variant de cinq unités entre 200 et 5oo, et enfin celles des logarithmes des nombres variant de dix unités entre 5oo et looo.
Pour les nombres non compris dans la table, il faut donc interpolery c'est-à-dire suppléer aux divisions qui manquent sur la règle par une estimation à vue, nécessairement approximative.
L'échelle inférieure de la règle est divisée d'une façon analogue; mais, comme les divisions principales y ont une longueur double, on a pu mul* tiplier les subdivisions de manière à avoir la partie décimale des logarithmes des nombres qui varient de un centième entre i et 2, de deux centièmes entre 2 et 4» de cinq centièmes entre 4 et 10.
Lecture dUin nombre sur la règle ou sur la réglette, — On peut faire cette lecture sans se préoccuper de la place de la virgule dans le nombre proposé, puisque, la caractéristique de son logarithme étant connue d'avance, il ne s'agit que d'en déterminer la partie décimale.
Soit à lire un nombre de trois chiffres, tel que 172. Ce nombre, tombant entre 100 et 200, se trouve sur la règle. On peut le lire à volonté sur la partie de gauche ou sur la partie de droite de l'échelle supérieure. On peut, en effet, supposer que la partie de gauche succède à une première échelle identique, qui serait formée, par exemple, en faisant glisser la réglette vers la gauche et en faisant coïncider le premier 10 de son échelle supérieure avec l'origine i de la règle, i ou 10 représente le premier chiffre i de 172, le 7 correspond à la septième subdivision du premier ordre qui vient après, et le 2 à la première subdivision du second ordre qui succède à celle-ci.
Soit le nombre 27,45. On cherche à lire sur la règle le nombre 27, 45 ou le nombre 2,745. Le chiffre 2 correspond à la division 2 de la règle, le chiffre 7 à la septième subdivision du premier ordre qui vient après; mais il faut estimer à vue l'intervalle à ajouter pour les chiffres suivants 4 et 5. Si I on avait à lire 2,75, on s'arrêterait à la première subdivision
WOTES 751
du second ordre qui suit la septième du premier ordre : on s'arrête donc
un peu avant, en estimant à vue les -^ environ de la subdivision con-
sidérée.
Si l'on veut enfin lire le nombre 5478,12, on néglige les deux chilTres décimaux, et Ton cherche à lire seulement 5,478 ou 54,78 ou 547,8. On prend le chiffre 5 de la règle : la quatrième subdivision suivante du premier ordre correspond au chiffre 4. Quant à l'intervalle à ajouter pour les derniers chiffres 7 et 8, il faut l'estimer à vue en prenant environ les
— ou les ~ de la subdivision du second ordre qui vient après celle qu'on
a d'abord considérée.
En résumé, on lit exactement sur la règle les nombres de un ou de deux chiffres et les nombres de trois chiffres inférieurs à îoo. Pour les nombres de trois chiffres supérieurs à 100 ou pour les nombres de quatre chiffres, on est le plus souvent obligé d'estimer approximativement Tintervalle qui correspond au dernier ou aux deux derniers chiffres à droite. On ne peut pas lire sur la règle les nombres qui ont plus de quatre chiffres.
Usage de la règle.
Multiplication, — Nous savons que, si l'on considère un produit de deux facteurs a et 6, on a
\ogab = log/ï -f- log^.
Au moyen des échelles identiques tracées sur la règle et sur la réglette, l'addition des deux logarithmes se fait immédiatement, de sorte qu'on peut lire en même temps sur la règle le produit cherché.
En effet, on n'a qu'à amener V indicateur (') de la réglette sous le premier facteur lu sur la rè<^le : le produit se trouve alors sur la règle, audessus du second facteur lu sur la réglette. En opérant ainsi, la distance de l'origine de la règle au point où on lit le produit est bien égale à la gomme des logarithmes des deux facteurs.
Une remarque est essentielle. On peut toujours, par le déplacement de la virgule, ramener les deux facteurs à n'avoir qu'un chiffre à leur partie entière. On n'ajoute alors, à l'aide de la règle, que les parties décimales des deux logarithmes. On reconnaît que la somme de ces parties est plus petite ou plus grande que l'unité, en voyant si l'expression du produit tombe sur la règle entre : et 10 ou, au delà, sur la seconde partie de l'échelle supérieure. On peut, d'après cela, déterminer a priori la caractéristique exacte du produit cherché, et l'on peut alors, sans difficulté; marquer dans ce produit la place de la virgule.
(*) Pour plus de rapidité, nous appelons indicateur Torigine ou le n^ 1 de la réglette.
y DU «OTES.
Soii à multiplier 7^^^ par'ji^. On mulliplîe 2,34 par 7ii6. Le produîl approximatif 16,8 se trouvant sur la seconde partie de la règle, la somme des parties décimales des logarithmes des deux facteurs est plus granffe que I. Il en résulte que la caractéristique du produit (qui se compose de la somme des caractéristiques des logarithmes des deux facteurs et de la retenue entière fournie par la somme des parties décimales de ces logarithmes) est ici égale à 5 : le produit contient donc six chiffres, et ce produit approché est 168000. Le produit réel est 167544- L'erreur par excès
est ici égale à 456 : Terreur relative est, par suite, moindre que — ; ou — -
environ.
Règle générale, le produit a autant de chiffres que les deux facteurs ou autant moins i , suivant f/u'il tombe dans la seconde ou dans la première partie de la règle.
Soit encore à multiplier 0,0275 par 45,8. Nous chercherons le produit de 2,75 par 4)^8. La règle donne 12,6. Ce produit se trouve sur la seconde partie de la règle. La caractéristique du produit est donc égale à 2 -H I H- I ou à zéro : il n'a, par suite, qu'un chiffre à sa partie entière et est 1 ,260. Le produit réel est i ,2595. Nous avons trouvé le produit cherché, à Taide de la règle, à 6,ooo5 près par excès : cette approximation est tout à fait accidentelle.
Si Ton avait à multiplier 3,78094 par 0,0074583, on multiplierait 3,78 par 7,46
Si l'on a à multiplier un même nombre par une série de facteurs différentSj on place Tindicaleur sous le multiplicande constant et Ton cherche sur la règle, au-dessus des facteurs considérés lus sur la réglette, les multiples demandés.
Ou peut opérer la multiplication en renversant la réglette, c'est-à-dire en l'engageant dans la rainure, de manière que le bouton métallique se trouve à gauche de l'opérateur au lieu d'être à droite.
Il est visible que, dans cette position, si l'on fait correspondre le multiplicateur lu sur la réglette renversée au multiplicande lu sur la règle, le produit répond sur la règle à l'indicateur ou, sur la réglette, à l'origine de la règle ; car l'intervalle qui sépare l'origine de la règle de l'indicateur est alors égal au logarithme du multiplicande lu sur la règle de gauche à droite, augmenté du logarithme du multiplicateur lu sur la réglette renversée de droite à gauche.
Cette seconde méihode nous conduit naturellement au meilleur procédé à suivre pour effectuer une division à l'aide de la règle.
Division, — Le dividende représente le produit du diviseur par le quotient. Par conséquent, la régictte étant supposée renversée y s\ Von amène l'indicateur sous le dividende lu sur la règle, le quotient se trouve sur la réglette au-dessous du diviseur lu aussi sur la règle, ou bien le quotient se trouve sur la règle, au-dessus du diviseur lu sur la réglette. En effet,
