CHAPITRE IV

DIVISION

43. La division a pour but de chercher le plus grand nombre de fois qu*un nombre appelé dividende en contient un autre appelé diviseur : ce nombre de fois s'appelle quotient.

Sous ce point de vue, la division peut s'effectuer au moyen de ia soustraction.

Soit à diviser 23 par 5. Retranchons 5 de 23, nous trouve-* 23 rons i8; 5 de i8, nous trouverons i3; 5 de i3, nous 5 trouverons 8; 5 de 8, nous trouverons 3, quantité ^ plus petite que 5. Nous avons dû faire 4 soustractions 5 pour arriver à ce résultat; 23 contient donc 4 fois 5, -r et un reste 3 plus petit que 5, ^ 4> ou le nombre des soustractions effectuées, est

-- donc le quotient cherché.

^ Le reste 3 s'appelle le reste de la division de 23

— par 5 : le reste d'une division est toujours plus petit

^ que le diviseur. On voit que c'est la quantité qu'il faul

ajouter au produit du diviseur par le quotient pour reproduire

le dividende. Ainsi, dans toute division, le dividende est égal

au produit du diviseur par le quotient y plus le reste,

U. Il peut se faire que le reste soit nul. Dans ce cas, le dividende est simplement égal au produit du diviseur par le quotient. On peut dire alors que la division a pour but, étant donnés un produit de deux facteurs et l'un de ces facteurs, de trouver l'autre. Nous généraliserons plus tard cette définition. On dit souvent dans ce cas que la division est exacte.

Pour qu'un nombre soit le quotient d'une division exacte, il suffit donc que, multipliant le diviseur, il reproduise le di^ vidende.

Si, dans le cas indiqué, on regarde le diviseur comme tenant la place du multiplicateur, on peut dire encore, en se re-

22 ARITHUÉTIQUE.

portant à la déflnîtion de la multiplication, qu'on veut partager le dividende en autant de parties égaies qu'il jr a d'unités dans le diviseur: l'une de ces parties est le quotient qui joue alors le rôle de multiplicande. Celle remarque justifie les dénominations de dividende et de diviseur.

45. On comprend sans peine que le procédé indiqué (43) est en général tout à fait impraticable. Nous allons donc chercher une autre méthode. Nous distinguerons deuiP cas» suivant que le quotient aura un ou plusieurs chiffres.

Cas oà le quotient n'a qu'un chifflre.

46. Supposons que le quotient et le diviseur n'aient qu'an chiffre. Le dividende sera au plus égal à 9 fois 9 plus 8 ou à 89; il ne pourra donc avoir qu'un ou deux chiffres, et Ton obtiendra le quotient en se servant de la table de multiplication.

Soit 39 à diviser par 5. En descendant dans la ligne verticale commencée par 5, on verra que 89 tombe entre les produits de 5 par 7 et par 8.

39 contient donc 7 fois le diviseur 5, plus un reste 4» diffé* rence entre 89 et le produit 35 qui en approche le plus par défaut : 7 est donc le quotient demandé, et 4 est le reste de la division.

47. Supposons maintenant que le diviseur ait plusieurs chiffres, le quotient n'en ayant toujours qu'un seul.

Soit 6843 à diviser par 839. On voit immédiatement que le quotient n'a qu'un chiffre, parce que le dividende, étant plus petit que 10 fois le diviseur ou 8390, ne contient pas 10 fois ce diviseur.

Cela posé, au lieu de diviser 6843 par 839, divisons 6843 par 800. Puisque nous employons un diviseur plus petit que le diviseur donné, nous pourrons trouver un quotient pi us grand que le quotient cherché, mais seulement plus grand.

Diviser 6843 par 800 revient à diviser 6800 par 800. En effet, si l'on divise 68 centaines par 8 centaines, on trouvera pour reste un nombre de centaines inférieur à 8 centaines au moins d*une centaine; pour que le dividende contint une fois de plus le diyiseur, il faudrait donc Taugmenter au moins d'une centaine, et non pas seulement de 43 unités.

ARITHMÉTIQUE. StS

Enfin diviser 6800 par 800 revient à diviser 68 par 8; car 68 unités de centaines renferment autant de fois 8 unités de centaines, que 68 unités renferment 8 unités.

On est par suite conduit à divisery par les plus hautes unités du diviseur, les unités de même ordre du dividende; et l'on obtient ainsi ou le quotient exact ou un quotient supérieur au quotient exact.

Il faut donc vérifier l'exactitude du chiffre trouvé : il faut Vessajrer,

Pour cela, on multiplie le diviseur'par ce chiffre, et, selon que le produit trouvé est plus petit ou plus grand que le dividende, le quotient obtenu est exact ou trop fort.

Si le quotient obtenu est trop fort, on le diminue d'une unité et l'on recommence l'essai jusqu'à ce qu'il réussisse (').

Dans l'exemple proi)Osé, en divisant 68 par 8,

on trouve 8 pour quotient (46). Le produit du diviseur 839 par 8 est égal à 6712; ce produit peut se retrancher du dividende 6843, et Ton obtient i3i pour reste. Le quotient demandé est donc 8, et le reste de l'opération est égal à i3i (').

48. On peut effectuer à la fois la multiplication et la sous-

(') Si l'on obtenait pour quotient un nombre plua grand que 9, on ne démit évidemment commencer les essais qu'au chiffre g.

(') De même qu'on a divisé en réalité 6800 par 800, on aurait pu diviser (iSoopar 900 on 68 par 9; on augmente ainsi le diviseur : on peut donc trouver on quotient plus petit que le quotient cherché, mais seulement plus petit. On essaye le chiffre trouvé comme il est dit plus haut et, suivant que la soustraction donne un reste plus petit ou plus grand que le diviseur, on en conclut que le quotient obtenu est exact ou trop faible; s'il est trop faible, on l'augmente du nouveau quotient que donne le reste divisé par le diviseur.

On a intérêt à augmenter ou à forcer ainsi d'une unité le chiffre des plus hautes unités du diviseur, lorsque le chiffre qui vient après surpasse 5. Soit, par exemple,

à diviser iSog par 276. En divisant i5 par 2, on trouve 7; en divisant i5 par 3, on obtient immédiatement le véritable quotient qui est 5. Ici le diviseur est bien plus près de 3oo que de 200.

a4 ARITHMÉTIQUE.

traction que l'essai du chiffre 8 exige. On y parvient en augmentant chaque chiffre du dividende d'autant de fois dix qu'il est nécessaire pour qu'on puisse en retrancher immédiatement le produit partiel correspondant, et en augmentant d'autant d'unités le produit partiel suivant.

Multiplions le diviseur 889 par 8. On dira d'abord 8 fois 9, 72. Il faudra alors augmenter le chiffre 3 des unités du dividende de 70, et dire 72 de 73, reste i et je retiens 7. En passant au produit partiel suivant» qui représente des dizaines» il faudra par compensation l'augmenter de 7 unités, et dire 8 fois 3 font 24 et 7 de retenue font 3i. On continuera de la même manière, en disant 3i de 34, reste 3 et je retiens 3; 8 fois 8 font 64 et 3 de retenue 67; 67 de 68, reste i.

L'opération présentera alors une forme plus simple.

En suivant la marche qu'on vient d'indiquer, on pourra faire l'essai d'un chiffre sans rien écrire.

La vérification sera souvent plus rapide, si l'on commence la soustraction par la gauche. Ainsi, en disant dans l'exemple précédent, 8 fois 8, 64; 64 de 68, reste 4 centaines, on est immédiatement sûr du chiffre 8; car, le chiffre suivant du diviseur étant 3, le produit partiel suivant ne peut contenir plus de 3 centaines.

Cas on le quotient a plnslenrs chiifirea.

49. Soit à diviser 4^^782 par 785. On voit immédiatement que le quotient a plusieurs chiffres; car 10 fois le diviseur 785 donnent un nombre 7860, inférieur au dividende.

Séparons alors sur la gauche du dividende autant de chif*-

* fres qu'il est nécessaire pour former un nombre compris entre

une fois et dix fois le diviseur. Ce nombre sera 4267; ses unités

correspondant aux centaines du dividende, les plus hautes

unités du quotient seront des centaines.

En effei, 4^^? contenant au moins une fois le diviseur, 4257 centaines contiendront au moins cent fois ce diviseur, et il en sera de même à plus forte raison du dividende 42^782.

D'autre part, 4^57 est Inférieur à dix fois le diviseur d'au moins une unité. Par suite, 42^7 centaines seront inférieures

ABITQMÉTIQUE. 20

à cent fois dix fois ou à mille fois ce diviseur d'au moins une centaine. Le dividende tout entier, qui ne surpasse 42^7 centaines que de 82 unités, sera donc lui-même inférieur à mille fois le diviseur.

Le diviseur étant contenu dans le dividende plus de 100 fois et moins de 1000 fois, les plus hautes unités du quotient sont des centaines.

Ainsi, lorsqu'on sépare sur la gauche du dividende un nombre compris entre une fois et dix fois le diviseur, le chiffre auquel on s'arrête sur la droite marque l'ordre des plus hautes unités du quotient.

Cela posé, si l'on divise les 42^7 centaines du dividende par le diviseur 785 (ce qu'on sait faire [W]), le chiffre 5 obtenu est le chiffre exact des centaines du quotient.

Car, puisque 4257 contient 5 fois le diviseur 785, 4^57 centaines contiennent 5oo fois ce diviseur, et il en est de même à plus forte raison du dividende 425782.

D'ailleurs, 4^^? étant inférieur à 6 fois le diviseur 785 au moins d'une unité, 4^^7 centaines sont inférieures à 600 fois le même diviseur au moins d'une centaine, et, par conséquent, le dividende 425782 ne contient pas 600 fois le diviseur 785.

Le dividende étant compris entre 5oo et 600 fois le diviseur, le quotient lui-même est compris entre 5oo et 600, c'est-à-dire contient 5 centaines et un certain nombre de dizaines et d'unités, qu'il reste à déterminer.

On voit donc qu'on obtient exactement le chiffre des plus hautes unités du quotient, en divisant les unités de même ordre du dividende par le diviseur.

50. Si l'on retranche 5 fois 785 de 42^7, il reste 332, Donc, en retranchant 5oo fois 785 de 4^*57 centaines, il restera 332 centaines ; et en retranchant 5oo fois le diviseur du dividende tout entier, on obtiendra pour reste 33282.

il faut donc chercher maintenant combien de fois ce reste contient le diviseur, c'est-à-dire qu'on a à effectuer une nouvelle division où le nouveau dividende est le reste 33282 et où le diviseur 785 est conservé.

D'après ce qui précède (49), on séparera sur la gauche de ce reste assez de chiffres pour former un nombre compris entre une fois et dix fois le diviseur. Si l'on est conduit ainsi à séparer les dizaines du reste, c'est que le quotient contient des dizaines; si l'on est forcé d* aller jusqu'aux unités, c'est que le quotient ne contient que des unités, et il faut alors mettre un zéro au quotient pour tenir la place des dizaines manquantes.

Dans l'exemple proposé, les 3328 dizaines du reste 33282 conienant4 fois le diviseur, le chiffre des dizaines du quotient est 4* £1^ retranchant 4 fois 785 de 3328, on trouve pour reste 188. Donc, en retranchant 4o fois 785 de 33282, on trouvera pour reste 1882.

Ainsi le nouveau dividende 33282 contient ^o fois le diviseur 785, plus un reste 1882. 11 faut donc chercher combien de fois ce reste 1882 contient le diviseur 786, en regardant à son tour 1882 comme un nouveau dividende.

1882 contient 2 fois le diviseur 785, plus un reste 3i2.

Le dividende 4^^782 renferme donc 5oo fois, plus ^o fois, plus 2 fois, le diviseur 785, avec un reste égal à3i2. Le quotient demandé est donc 54^, et le reste de l'opération est 3 12.

51. En relisant attentivement la démonstration précédente, on est conduit à cette règle pratique pour la division de deux nombres quelconques : Il faut séparer le dividende du diviseur par un trait vertical, le diviseur du quotient par un trait horizontal; marquer ensuite sur la gauche du dividende un nombre compris entre une fois et dix fois le diviseur, diviser ce nombre par le diviseur : le quotient obtenu est le chiffre des plus hautes unités du quotient. On multiplie le diviseur par ce chiffre, on retranche le produit obtenu de la partie séparée à gauche du dividende, qu'on appelle premier dividende partiel; et Von forme un second dividende partiel en abaissant à côté du reste trouvé le chiffre suivant du dividende. En divisant le second dividende partiel par le diviseur, ontrouve le second chiffre du quotient. On multiplie le diviseur par ce second chiffre.

et l'on retranche le produit correspondant du second dividende imrtieL On obtient un second reste à côté duquel on abaisse unnouveau chiffre du dividende, et l'on opère sur le troisième dividende partiel ainsi form^ comme sur les précédents. On continue jusqu'à ce qu'on ait abaissé le dernier chiffre à droite du dividende.

Si quelques-uns des dividendes partiels obtenus sont infé rieurs au diviseur, on met pour chacun d'eux un zéro au quotient et l'on abaisse le chiffre suivant du dividende.

En employant la simplification déjà indiquée (i8)> on dispose l'opération comme il suit. — Dans le second exemple» le quotient présente plusieurs zéros.

Reinarques snr la division.

5^. Rbmabque I. — Lorsque le diviseur n'a qu'un chillre, Topération se simplifie, parce que, les dividendes partiels successifs n'ayant qu'un ou deux chiffres (W), on peut se dispenser de les écrire. On note seulement les chiffres du quolieni, qu'on écrit sous le dividende à mesure qu'on les trouve, et le dernier reste.

Soit, par exemple, ^5Q>Z^ à diviser par 7.

On dira: en 45, 7 est contenu 6 fois pour 4^» et î' reste 3; en 38, 7 est contenu 5 fois pour 35, et il reste 3; en 33, 7 est contenu 4 fois pour 28, ei il reste 5; en 59, 7 est contenu 8 fois pour 56, et il reste 3. Le quotient est donc 6548 et le reste est 3.

La marche qu'on vient d'indiquer peut être utilisée d'une manière générale, lorsqu'on essaye un chiffre du quotient [Viy i8, 49). Soit à diviser, par exemple, 28239 par 73i5. L'application de la règle ordinaire conduit à essayer le chiffre 4- Ce chiffre, quotient de a8 par 7, est exact ou trop fort. S'il est

l8 ARITHMÉTIQUE.

exact, le dividende est au moins égal à 4 ^ois le diviseur et, par conséquent, son quart estau moins égal à 'j3i5. On prendra alors le quart du dividende et, si ce quart est moindre que le diviseur, on en conclura que le chiffre 4 ^sl trop fort. On n'aura donc qu'à comparer les chiffres qu'on trouvera successivement avec les chiffres correspondants du diviseur.

Le quart de a8 est 7, et il reste o. Le quart de 2 est o, tandis que le chiffre suivant du diviseur est 3. Le chiffre 4 est donc trop fort, et il faut essayer le chiffre 3.

Ce procédé est surtout avantageux lorsque les chiffres successivement obtenus sont tous égaux aux chiffres correspon* dants du diviseur, parce qu'on obtient alors immédiatement le reste de la division partielle entreprise.

Soit à diviser 65652 par 9378. Il faut essayer le chiffre 7, quotient de 65 par 9. Le septième de 65 est 9, et il reste 2; le septième de 26 est 3, et il reste 5; le septième de 55 est 7, et il reste 6 ;le septième de 62 est 8, et il reste 6. Le quotient 7 est donc exact, et le reste de l'opération est 6.

53. Remarque IL — Quand le quotient doit avoir un trèsgrand nombre de chiffres, on a intérêt à former d'avance les produits du diviseur par les neuf premiers nombres. En comparant ensuite ces produits aux dividendes partiels successifs, on trouve immédiatement les différents chiffres du quotient et les restes qui leur correspondent.

I fois 576. . . 576

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