DES PUISSANCES

Notations correspondant aux quatre opérations.

58. Les quatre opérations que nous venons d'étudier ont chacune leur signe représentatif.

L'addition s'indique au moyen du signe -h; l'expression 5 f 3 signifie 5 plus 3.

La soustraction s'indique au moyen du signe — ; l'expression 7 — 2 signifie 7 moins 2.

La multiplication s'indique au moyen du signe X ; l'expression i5 X g signifie i5 multiplié par g,

La division s'indique au moyen du signe :; l'expression 12: 3 signifie 12 divisé par 3.

59. Quand on veut soumettre à une certaine opération le résultat d'une opération qui n'est elle-même qu'indiquée, il faut employer un signe particulier; on met alors entre paren^ thèses l'indication de la première opération, et le signe de la seconde opération porte sur toute la parenthèse»

Soit la somme 5+ 3 à multiplier par 7; il faudra mettre 5 + 3 entre parenthèses et écrire (5 -h 3) x 7. Si l'on ne prenait pas cette précaution, et si l'on écrivait simplement 5 h-- 3 x 7, au lieu d'indiquer le produit de la somme 5 + 3 par 7, on indiquerait la somme de 5 et du produit 7X3.

De même, si l'on veut indiquer la division de la différence i5— 3 par la somme 2 -f 7, on écrira (i5 — 3) :(2 -f- 7).

GO. Quand deux expressions sont égales ou doivent donner des résultats égaux lorsqu'on exécute les calculs qui y sont indiqués, on les réunit par le signe = ; ainsi 14X2 = 4X7 veut dire que le produit de i4 par 2 est égal au produit de 4 par 7. i4 X 2 est le premier membre, 4X7 est le second membre de l'égalité 14x2 = 4x7.

Quand deux expressions sont inégales, on Tindique en les séparant par le signe >•, Touverture du signe devant être tournée du côté de la plus grande quantité. Ainsi, on écrira i5 X 2 > 3 X 9, pour indiquer que le produit de i5 par 2 surpasse celui de 3 par 9, ou 3X9"< i5 X a pour indiquer que ie premier produit est plus petit que le second. Dans le preniier cas, on dit î5x 2 plus grand que 8X9; et dans le seco nd, 3X9 P^^^ p«/i/ que i5 X 2.

Cl. On remplace quelquefois en Arithmétique les nombres par des lettres quelconques, pour rendre le raisonnement plus rapide ou l'expression d'une vérité plus facile à retenir.

Le produit de deux nombres représentés par les lettres a et b s'indique alors en écrivant ces deux lettres à côté l'une de l'autre. Ainsi axb = ab; de même «x5 = 5a.

Si l'on représente, par exemple, par D le dividende d'une division quelle qu'elle soit, par d le diviseur, par Q le quotient, par R le reste de l'opération, on se rendra très-nettement compte de la composition du dividende en écrivant :

D = dQ H- R.

Lorsque plusieurs nombres ont une propriété commune ou un mode de formation analogue, on les représente souvent par la même lettre, et on les distingue entre eux en accentuant successivement celte lettre d'un, ou deux, ou trois accents. Ainsi, pour représenter une série de quotients se déduisant les uns des autres, on écrira q, q', q'y el l'on énoncera les lettres affectées d'accents, en disant q primer q seconde, etc.

On peut démontrer, sur les opérations précédentes, plusieurs théorèmes (*) qui facilitent beaucoup les calculs et qui sont essentiels à connaître : nous allons les parcourir.

Théorème relatif à la sonstraction.

62. Pour retrancher d'un nombre ta différence de deux autres, il faut lui ajouter le plus petit de ces deux nombres, et retrancher le plus grand du résultat.

(*) On entend par théorème l'énoncé d'une vérité qui a besoin do démon»- Iration; corollaire signifie : conséquence d'un théorème. Un proàlhne est un« question à résoudre.

Soil 8 dont on veut retrancher i5 — lo : on ne changera rien è la dififérence demandée en augmentant 8 et i5 — lo d'une même quantité lo; mais alors il reste i5 à retrancher de la somme 8 -h lo. On exprime ce théorème par l'égalité

8 — (i5 — io)=8-f-io — i5.

Théorèmes relatifs à la multiplication.

63. 1. Pour multiplier une somme par un nombre, il faut multiplier chaque partie de la somme parce nombre et ajouter les produits partiels obtenus.

Soit (4 -H 5 -h 7) X 3. Il faut répéter 3 fois la somme 4-^5-1-7, et le résultat renferme 3 fois chaque partie de cette somme. On a donc bien

Il est évident que, pour multiplier un nombre par une somme f il faut de même multiplier ce nombre par chaque partie de la somme, et ajouter les résultats partiels obtenus; car (M)

et, dans chacun des résultats 4x3, 5x3, 7X3, on peut renverser l'ordre des deux facteurs.

Enfin, pour multiplier deux sommes l'une par l'autre, il faut multiplier chaque partie de la première somme par chaque partie de la seconde, et ajouter les résultats partiels obtenus.

Soit (4 -h 5 -h 7) X (^ -i- 9). On pourra regarder la première somme comme effectuée : le résultat sera alors égal à

c'est-à-dire en réalité à la somme obtenue en multipliant chaque partie de la première somme par chaque partie de la seconde.

Gî^.Ii. Pour multiplier une différence par un nombre, il faut multiplier chaque partie de la différence par ce nombre et retrancher le plus petit produit du plus grand.

Soil (i5 — 10) X 2. La différence i5 — 10 étant égale à 5, on a

i5 =rio -H 5 (24), d'où i5x2 = ioX2-h5Xa (63),

De C — Cours. 1. 3

Puisque i5x2 est la somme des deux produits 10x2 et 5 X 2, le produit 5 x a ou (i5 — 10) x 2 est bien égal à son tour à la différence des deux produits i5 x 2 et 10 x 2.

Il est évident que, pour multiplier un nombre par une différence, il faut multiplier ce nombre par chaque partie de la différence et retrancher le plus petit produit du plus grand.

Soîl,eneffet, 2X(i5— 10). Ce produit est égal à (i5 — io)X2 et, dans chacun des résultats i5 x 2 et 10 x 2, on peut renverser Tordre des deux facteurs.

65. Soit l'expression 6x3x7X2x9, qu'on appelle produit de plusieurs facteurs. Elle signifie qu'il faut effectuer le produit de 5 par 3, puis muUiplier ce résultat par 7, le nouveau résultat obtenu par 2, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait employé tous les facteurs 5, 3, 7, 2, 9 (^).

66. III. Étant donné un produit de plusieurs facteurs, on peut intervertir leur ordre de toutes les manières possibles, sans que le produit varie.

Ce théorème est fondamental; nous partagerons sa démonstration en trois parties.

1** Dans un produit de trois facteurs, on peut changer l'ordre des deux derniers sans changer le produit.

Soit 6 X 3 X 5. On peut poser

En effet

6x3 = 64-64-6 et

d'où

On en déduit immédiatement que, dans un produit d'un nombre quelconque de facteurs, on peut changer l'ordre des deux derniers sans changer le produit.

(■) n est évident que si, au lieu de deux facteurs, on en a un nombre quelconque, le nombre des chiffres du produit est ou plus égal au nombre des chiffres de tous les facteurs réunis et au moins à ce môme nombre diminué de celui des facteurs moins un (40).

▲niTHMÉTIQUE. 35

On aura^ par exemple,

aX7X9X 3x8=2X7X9X8x3.

En effet, pour former ces deux produits^ il faudra toujours commencer par multiplier entre eux les trois premiers facteurs qui sont identiques de part et d'autre, et la question sera ramenée à prouver que 216 X3x8 = 2i6x8x3.

a** Dans un produit d'un nombre quelconque de facteurs, on peut changer l'ordre de deux facteurs consécutifs quelconques sans changer le produit.

On aura, par exemple,

En effet, puisqu'on a, d'après ce qui précède (i*),

on obtiendra encore des produits égaux en multipliant successivement ces deux produits égaux par les mêmes facteurs 6 et 9.

3* On peut faire passer un facteur quelconque à tous les rangSf sans changer le produit.

Dans le produit 2X9X7x4x6, on peut, par exemple^ sans modifler le produit (2^'), échanger le facteur 7 d'abord avec le facteur 9, puis ensuite avec le facteur 2, ou bien l'échanger avec le facteur 4» et ensuite avec le facteur 5. On peut répéter pour tout autre facteur ce qu'on vient de dire pour le facteur 7. I) en résulte que Tordre des facteurs n'influe en rien sur le produit.

67. On déduit du théorème fondamental que nous venons d'établir les remarques suivantes.

RsMARQCB I. — Pour multiplier un nombre par un produit de plusieurs facteurs, il suffit de former un produit unique avec ce nombre et tous les facteurs du produit.

Soit 35 X (2 X 3 X 4)« Ce produit est égal à

Eo effet on peut écrire

36 AEITHMÉTIQUE.

Qu'on laisse ou qu'on enlève les parenthèses dans le second membre de cette égalité, rien ne sera changé au résultat, puisqu'il faudra toujours former le produit 24 ^^s trois premiers facteurs et le multiplier ensuite par 35. On aura donc

35x(ax3x4) = 2X3x4x35 = 35X2X3x4.

Remàrqub II. — Pour multiplier deux produits de plusieurs facteursy il suffit déformer un produit unique avec tous les facteurs de ces deux produits.

(3x4X7)X(5x9) = 3x4X7X5x9; car, en regardant le premier produit comme effectué et en s'appuyant sur la remarque précédente, le premier membre de l'égalité revient d'abord à(3x4X7)x5X9;ei cette dernière expression donnera toujours le même résultat, qu'on conserve ou qu'on enlève les parenthèses.

Remarque III. — Dans un produit de plusieurs facteurs, on peut en remplacer un nombre quelconque par leur produit effectué.

Soit 2X7x5x4x9. On pourra remplacer les facteurs 7 et 4 par leur produit 28 et écrire

En effet on a

Remarque IV. — Pour multiplier un produit de plusieurs facteurs par un nombre, il suffit de multiplier Vun des facteurs du produit par ce nombre.

Soit (2 X 3 X 7 ) X 5. On pourra écrire

(2X3X7)X5 = 2Xi5X7.

On a en effet, d'après les remarques II et III,

^2X3X7)x5 = 2X3X7X5 = 2Xi5X7.

Théorèmes relatif à la divisioii.

68. I. Lorsqu'on multiplie le dividende et le diviseur d'une division par un même nombre, le quotient ne change pas et le reste est multiplié par le même nombre.

AUITHMÉTIQUE. ij

Soit 38 à diviser par 5. On trouve pour quotient 7 et pour reste 3. On peut donc écrire (b3)

Multiplions les deux membres de cette égalité par 2, par exemple. I) viendra (63)

Pour multiplier le produit 5X7 P^'* ^» ^^ P^^^ multiplier lo facteur 5 par a (67, IV) et écrire

De plus, le reste 3 étant plus petit que le diviseur S, on aura nécessairement 3 x 2 <; 5 x 2. L'égalité (2) signifie alors que le produit 5X2 est contenu 7 fois dans le produit 38X2, avec an reste 3X2; c'est ce qu'il fallait établir.

69. II. Pour diviser un produit de plusieurs facteurs par Vun d'eux, il suffit de supprimer ce facteur.

Soit (3x5x7): 5.

Le quotient sera bien égal à 3 x 7 {kk)^ puisqu'on peut écrire

Il suit de là que, pour diviser un produit de plusieurs fae^ leurs par un nombre, il suffit de diviser Vun des facteurs du produit par ce nombre, lorsque cette division est possible exactement.

Soit (17X28x5): 4.

De même qu'on peut remplacer deux facteurs 4 ^^ 7 P^^ leur produit effectué 28 (67, III), on peut remplacer 28 par les deux facteurs 4 et 7. On a alors

(i7X4X7X5):4 = i7X7X5, ce qu'il fallait établir.

70. m. Pour diviser un nombre par un produit de plusieurs facteurs, la division étant supposée exacte^ oh peut diviser ce nombre par le premier facteur, le résultat obtenu par le second facteur, et ainsi de suite jusqu'à ce qu'on ait épuisé tous les facteurs.

38 AKITHMÉTIQUE.

Soit 38o : 38. Le quotient sera égal à lo et l'on aura

38o=38x lo.

38 étant égal à 2 x 19» on pourra écrire

38o = aXi9X 10,

Si l'on divise les deux membres de cette égalité par 2, on aura

car a étant facteur du second membre, pour diviser ce second membre par 2, il suffira de supprimer 2 (69). Divisons par 19 les deux membres de la nouvelle égalité, nous aurons

Le quotient reste donc le même, qu'on divise directement par 38 ou successivement par les facteurs de 38; l'ordre des divisions partielles est d'ailleurs indifférent (').

(*) Si la division ne s'eflTectuait pas exactement, les deux procédés conduiraient encore au même quotient, mais les restes définitifs ne seraient pas les mêmes. Si l'on divise 385 par 38, le quotient est lo et le reste 5. Si Ton divise 385 par 3, le quotient est 192 et le reste i ; si l'on divise ce quotient par 19^ le quotient définitif est encore 10, mais le dernier reste est égal à a.

Désignons en effet, d'une manière générale, par D le dividende, par d le diviseur, par a, by e les facteurs qui le constituent. Si l'on divise directement D par d, on obtiendra un certain quotient Q et un reste R. On pourra donc éerire

Si l'on divise, au contraire, D par a, puis le quotient q obtenu par b, puis le nouveau quotient ç' obtenu par c, on obtiendra un dernier quotient ç^, H faut prouver que ç'= Q. Désignons par r, r', r' les restes des divisions sncoessives. On pourra poser les égalités

Si l'on substitue à ç et à ^ leurs valeurs, il vient

D = a[*(<?y''-+-r*) H- r'] -T-r ou D = aAcy"-!- «^r'-hor'-H r.

r^ est au plus égal à c — 1, r' au plus égal k b — i, r au plus égal à a — i. La somme abr" -^ ar' -^ r est donc an plus égale à

ab{c — i)-+-a{h — i)-4-fl — i ou à abc — i.

La dernière égalité posée prouve par suite que le plus grand nombre de fois que D contient abe = d est q" , La première prouve que ce plus grand nombre de fois est Q. On a donc bien q^=^ Q. On voit en môme temps que le dernier raste r' est toujours inférieur à R, puisqu'on a nécessairement

R = €ibr'-k- ar'-^ r.

AHITHMéXIQUE 39

Des puissances

71. On appelle puissance d'un nombre le produit qu'on obtient en prenant ce nombre plusieurs fois comme facteur.

On dit que la puissance est une puissance m'^^ lorsque le nombre est pris m fois comme facteur : m est alors le degré de la puissance.

On appelle, en particulier, carré la seconde puissance et cube la troisième puissance d'un nombre.

72. On indique le degré de la puissance au moyen de Vexpo* sont : l'exposant est un nombre égal au degré de la puissance, qu'on écrit sur la droite et un peu au-dessus du nombre élevé à ia puissance.

Ainsi l'on indiquera que 5 est élevé à la puissance i3, en écrivant 5".

La notation de l'exposant est extrêmement importante, et bon emploi facilite beaucoup les calculs.

Par analogie, on dit que 5 est la première puissance de 5; on n'écrit pas Texposant i.

Les opérations sur les puissances se ramènent à des opérations plus simples sur les exposants de ces puissances.

73. I. Pour multiplier deux puissances d'un même nombre, '' *"j9?^ d'ajouter leurs exposants.

Soil 7^ X 7'. Le résultat cherché est égal à 7""^* ou 7*. En effet, 7* représentant le produit de trois facteurs égaux à 7 et 7' le produit de deux facteurs égaux à 7, le produit 7'X 7* T^nierme cinq facteurs égaux à 7.

74. II. Il suit de là que, pour diviser deux puissances d'un même nombre^ il suffît de retrancher leurs exposants.

Soit 7* : 7'. Puisqu'on a

oo a aassi

SI l'on applique le résultat précédent au cas où le dividende et le diviseur sont égaux, si l'on divise, par exemple, 7* par 7»,

4o ARITHMÉTIQUE.

on trouve

D'autre pan, 7*:^» = !. On est ainsi conduit à regarder tout nombre affecté de l'exposant zéro comme équivalent à t unité.

75. III. 11 suit encore de là que, pour élever une puissance à une autre puissance, il suffit de multiplier les exposants des deux puissances.

Soit 7' à élever au cube, ce qu'on indique ainsi : (7=)*. Il faut faire le produit de trois facteurs égaux à 7% ce qui revieni à ajouter trois fois l'exposant 2. On a donc

76. IV. Enfin, pour élever un produit à une puissance, il suffit d^ élever tous ses facteurs à cette puissance.

Soit le produit 5 x 7^ X 4 ^ élever au cube. On a

On peut enlever les parenthèses (07, II) et remplacer autant de facteurs que Ton voudra par leur produit effectué (67, III). En réunissant les facteurs 5, les facteurs 7' et les facteurs 4* on peut donc écrire

77. Extraire la racine /îi'*~ d'un nombre, c'est chercher un nombre qui, élevé à la puissance m^^^, reproduise le nombre donné.

Pour terminer ce qui a rapport au calcul proprement dit, il faudrait exposer l'opération inverse de l'élévation aux puissances, au moins dans ses deux cas les plus simples. Mais, pour ne pas trop nous écarter des habitudes de l'enseignement, nous renverrons l'étude de l'extraction des racines carrée et cubique au livre IV.

Nous ferons seulement remarquer que nous avons été successivement conduit à la considération de six opérations particulières sur les nombres, opérations qui n'ont jamais pour but que la composition et la décomposition de ces nombres. Les nombres se composent au moyen de l'addition, de la multiplication et de l'élévation aux puissances. Dans la multipli-

AniTHMÉTIQUE. 4 >

cation les nombres à ajouter sont égaux; dans Télévation aux puissances, les facteurs employés sont égaux. Les nombres se décomposent au moyen de la soustraction, de la division, de Textraction des racines. Dans la division, les nombres à sous< traire sont égaux; dans Textraction des racines, les facteurs qui, par leur produit, doivent reconstituer le nombre donné sont égaux. Les trois premières opérations ont pour inverses 'es trois dernières.