DES DIFFÉRENTS SYSTÈMES DE NUMÉRATION
Principes fondamentaiiz.
78. Les principes sur lesquels repose la Numération décimale ont été démontrés dans le Chapitre premier. Ces principes, qui se réduisent à deux y s'appliquent sans modifications à tout autre système; et comme les procédés de calcul sont fondés eux-mêmes sur l'ensemble de la Numération, il en résulte que, quel que soit le système choisi, les règles posées dans les Chapitres précédents demeurent intactes. R suffit de remplacer, dans les raisonnements et les énoncés, la base dix par la nouvelle base adoptée.
Désignons cette nouvelle base par a. Les deux principes fondamentaux pourront être formulés comme il suit :
Tout nombre est composé de collections successÎQCs qui représentent ses unités des différents ordres; a unités d'un certain ordre formant une unité de l* ordre immédiatement supérieur y chaque collection est en valeur absolue inférieure à a.
Tout chiffre placé à la droite d'un autre vaut a fois moins que s'il était à la place de cet autre,
79. Comme le zéro est toujours indispensable pour tenir la place des unités manquantes, le nombre des chiffres significatifs (il) est toujours a ~ I dans chaque système.
Ainsi, dans le système octaval, c'est-à-dire dans celui dont la base est huit, les caractères employés sont
Dans le système binaire, c'est-à-dire dans celui dont la base est dcttx, les caractères employés sont
Quand la base dépasse dix, il faut imaginer de nouveaux caractères pour représenter les nombres compris entre neuf et la base considérée. Dans le système duodécimal, c'est-à-dire dans celui dont la base est douze, on prend les lettres grecques a et p pour représenter les nombres dix et onze. Les caractères employés sont alors
80. Parmi tous les systèmes qu on pouvait choisir, on s'est arrêté au système de Numération décimale, sans doute à cause des dix doigts de nos deux mains qui ont naturellement servi, dans les temps primitifs, soit d'indicateurs, soit de points de repère pour figurer la série des nombres.
La Numération duodécimale présente cependant des avantages particuliers à cause du plus grand nombre de diviseurs de la base douze. La base dix n'eSl divisible exactement que par 2 et par 5, tandis que la base douze Test à la fois par a, par 3, par 4 et par 6. Aussi les anciennes mesures se rapportent-elles souvent, par leur mode de divisiou, à la base douze.
II est clair que, dans le système binaire, les multiplications et les divisions reviennent à de simples additions et à de simples soustractions. I est, en effet, le seul chiffre significatif de ce système; mais les nombres les plus simples s'y trouvent exprimés par un trop grand nombre de chiffres pour qu'on puisse penser à l'employer d'une manière usuelle.
Passage d'un système à im antre.
81. Deux questions se présentent naturellement : passer d*un système quelconque au système décimal; passer du système décimal à un système quelconque.
Le nombre 32 a 78 étant exprimé dans le système duodécimal, proposons-nous d'abord de récrire dans le système décimal. D'après le premier principe fondamental (78) et en effectuant les cal- 3 culs dans le système décimal, on voit que le nombre donné con- 12 tient 3x12 + 2 ou 38 unités du quatrième ordre duodécimal. 36 II renferme, par suite, 38 x 12 + 10 ou 466 unités du troisième ^ ordre duodécimal; puis 466 x 12 -h 7 ou 5599 unités du 38 deuxième ordre duodécimal ; et enfin 5599 x 12 + 8 ou Jl 67196 unités du premier ordre duodécimal et, par conséquent, ^^^ du premier ordre décimal, car les unités simples sont identiques dans tout système.
Nous avons indiqué ci-contre la série des opérations. En met- ^^ tant chaque base eu indice, on obtiendra comme résultat l'égalité
i£ qu'on énoncera en disant que le nombre duodécimal 32 a 78
67188 équivaut au nombre décimal 67196.
■ Ce qui précède conduit à cette règle : Pour passer d'un nombre
' ^ écrit dans un système quelconque à ce' même nombre écrit dans le système décimal, on multiplie te premier chiffre à gauche du nombre donné par la base qui lui correspond et l'on ajoute au produit le second chiffre à gauche; on multiplie le résultat obtenu par la même base et l*on ajoute au protiuit le troisième chiffre; on continue ainsi Jusqu'à ce qu'on ait été amené à ajouter le dernier chiffre à droite du nombre proposé.
82. Étant donné le nombre décimal 67196, proposons-nons inversement de récrire dans le système duodécimal.
En opérant toujours dans le système décimal, divisons par 12 le nombre donné. Le quotient trouvé représentera (78) la quotité des unités du second ordre du nombre proposé écrit dans le système duodécimal, et le ' reste correspondant fera connaître les unités simples du même nombre. En divisant encore par 12 ce premier quotient, on obtien(fra un second quotient égal aux unités du troisième ordre duodécimal et un reste égal aux unités du second ordre. On continuera de la même manière jusqu'à ce qu'on parvienne à un dernier quotient inférieur à 12. Ce dernier quotient représentera le chiffre des plus hautes unités du nombre duodécimal demandé et le reste correspondant, Tavant-dernier chiffre à gauche de ce nombre. L'opération offrira la disposition suivante :
En remplaçant le reste (10) par a, le nombre demandé sera donc 3a a 78.
On peut évidemment énoncer celte règle : Pour passer d^un nombre écrit dans le système décimal à ce nombre écrit dans un système quel' conque, on divise le nombre donné par la nouvelle base, puis le quotient obtenu par cette même base, et ainsi clc suite, jusqu^à ce quon arrive h un quotient inférieur au diviseur constant employé. Si Von écrit alors, à côté les uns des autres et de gauche à droite, le dernier quotient et les restes successivement trouvés en les prenant de droite à gauclte, on a le résultat cherché.
Si l'on voulait, en appliquant cette règle, écrire le nombre décimal 87 dans le système binaire, on parviendrait à l'égalité
87j,.j = 10101 ii(,).
Il faudrait donc, dans le nouveau système, sept chiffres là où deux suffisaient (80).
83. Pour passer d'un nombre écrit dans un certain système à ce nombre écrit dans tout autre système, le plus simple est de prendre pour intermédiaire le système décimal. Ainsi, pour passer du système a au système </, on écrira dans le système décimal le nombre donné dans le système a, en suivant la règle du n"* 81 ; puis on transformera dans le syslème d le nombre décimal obtenu, en suivant la règle du n° 82.
81. Si Ton désigna par A, B, G,.. ., L les différents chiffres de droite à gauche d*un nombre donné N écrit dans le système dont la base est x (ce qui entraîne les conditions A < x, B < x, C <x,. . .. L <x), et si les plus hautes unités de ce nombre sont de Tordre /» +1, on pourra,
ÀEITHMÉTIQUE. ^5
d'après le second principe fondamental (78), poser l'égalité N = A -H Bx H- C-r'-»- Djc*-^. , .-4- Lx«.
Cette égalité résume évidemment les théorèmes établis précédemment
Numération grecque et numération romaine.
85. Le système décimal nous a été transmis par les Arabes ; mais on oe sait pas exactement à quel peuple on doit reporter Thonneur de l'idée, aussi simple qu'admirable, d'attribuer aux différents chiffres des valeurs relatives ou de position indépendamment de leurs valeurs propres ou absolues.
La supériorité de la Numération décimale a rejeté complètement dans l'ombre les procédés de calcul des anciens, rendus pénibles et prolixes par le mode même de représentation qu'ils avaient adopté.
Nous nous bornerons à indiquer rapidement la notation employée par les Grecs et celle qui était usitée chez les Romains.
